pai^2/6

~Lucifer~

1+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+(1/5^2)+...=pai^2/6

要如何证明啊？先谢谢各位高手了！

dunwan2tellu

参考 这里

dunwan2tellu

参考 这里


这是 Riemman Zeta Function

证明如下 :

用 power series 知道

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ....

因此

sin x/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ...

设 P(x) = sin x/x

那么 P(x) = 0 的 roots 是 sin x/x = 0 的 roots

也就是说 x = n * pi  , (n 是非零整数) 是 P(x) = 0 的 roots

因此 x^2 = n^2 * pi^2 就是 P(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + .... 的 roots

**从Vieta Theorem 就知道 Sum of reciprocal roots = 1/3!

也就是说 Sum (1/n^2*pi^2) = 1/3!

=> Sum(1/n^2) = pi^2/6




** 比如 f(x) = x^2 - 5x + 6 = 0 有 roots 2，3 。Sum of roots = 5 ( 5 是从 x 的 coefficient 看来的)
但是从 1/6 x^2 - 5/6 x + 1 = 0  看得出 Sum of reciprocal roots = 1/2 + 1/3 = 5/6 (5/6 也是从 x 的 coefficient 看来的)

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 4-4-2007 11:55 PM 编辑 ]