初等数论讨论中心

quentin

原帖由 vincent5081 于 12-5-2006 07:03 PM 发表


你好，请问你是哪一所大专数学系的学生？我是博大的，以后请多指教！

原来是博大的前辈在下是工大工业数学系第一年的学生

vincent5081

你叫我前辈？我有酱老吗？

哦，原来是怡安的系友。。。你认识怡安吗？

vincent5081

版主，我想请问你如何编辑新的照片？

quentin

原帖由 vincent5081 于 12-5-2006 08:41 PM 发表
你叫我前辈？我有酱老吗？

哦，原来是怡安的系友。。。你认识怡安吗？

呵呵我很少跟senior联络...怡安是跟你同年的吧.

dunwan2tellu

各位网友，请注意，这是“初等数论讨论中心”，别离题了,你们可以短消息对方，继续讨论。

dunwan2tellu

题目：求自然数

试求所有的自然数 n , 使到

(n^2 + 1)/(2n+1) 是整数。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 13-5-2006 10:23 AM 发表
题目：求自然数

试求所有的自然数 n , 使到

(n^2 + 1)/(2n+1) 是整数。

设(n^2 + 1)/(2n+1) = k
n^2 - 2nk + 1 - k = 0
n = [2k +- sqrt{4k^2 + 4k - 4}]/2
  = k +- sqrt{k^2 + k - 1}
由于n,k都是整数，所以 sqrt{k^2 + k - 1} 也是整数。
但若k > 1, k^2 =< k^2 + k - 1 =< (k+1)^2 = k^2 + 2k +1  
说明若k>1 ,那 sqrt{k^2 + k - 1}不是整数。
唯一的解是k = 1
n = 1 +- 1
  = 2 (n是自然数）

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 13-5-2006 05:45 PM 发表

设(n^2 + 1)/(2n+1) = k
n^2 - 2nk + 1 - k = 0
n = [2k +- sqrt{4k^2 + 4k - 4}]/2
  = k +- sqrt{k^2 + k - 1}
由于n,k都是整数，所以 sqrt{k^2 + k - 1} 也是整数。
但若k > 1, k^2 =< k^2 + k - ...

不愧是 hamilan911 !要不要试试看用 gcd 的方法呢？

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 13-5-2006 06:11 PM 发表


不愧是 hamilan911 !要不要试试看用 gcd 的方法呢？

甭了，让你把它贴上来吧。。
我在中学园地开了一个06年OMK的帖，去支持一下。。

dunwan2tellu

好吧！

gcd (n^2 +1, 2n+1) = gcd (4n^2 + 4 , 2n+1) = gcd ((2n+1)(2n-1)+5,2n+1)
=gcd (5,2n+1) =< 5

所以 2n+1 只能是 1,3,5 ...

其实我原本是要出 (n^2+2)/(2n+1) 的，不过不小心  type 到 n^2+1

dunwan2tellu

经典：很不错的证明题。

对于任何自然数 n , 求证

[ sqrt{4n+2} ] = [ sqrt{n} + sqrt{n+1} ]

注：[ x ] = integer part of x

我们甚至可以证明 [ sqrt{4n + i} ] = [ sqrt{n} + sqrt{n+1}] for i=1,2,3

.有兴趣试吗？hamilan911 , 多普勒效应，quentin ?

dunwan2tellu

意大利 2006 Olympiad :

若 m,n = 自然数，p = prime 求所有的 p,m,n 使到

p^n + 144 = m^2

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 14-5-2006 05:36 PM 发表
意大利 2006 Olympiad :

若 m,n = 自然数，p = prime 求所有的 p,m,n 使到

p^n + 144 = m^2

p^n = m^2 - 144 = (m+12)(m-12)
p是质数，所以m+12 或 m-12 = 1
m,n都是自然数，所以m是13。
将m=13代入，p^n = 25   
显然p=5,n=2
所以p=5,n=2,m=13

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 14-5-2006 08:12 PM 发表

p^n = m^2 - 144 = (m+12)(m-12)
p是质数，所以m+12 或 m-12 = 1
m,n都是自然数，所以m是13。
将m=13代入，p^n = 25   
显然p=5,n=2
所以p=5,n=2,m=13

犯了错误。还有两幅答案。

当 m = 20 又如何？想想错误在何处？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-5-2006 11:05 PM 编辑 ]

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 14-5-2006 11:01 PM 发表


犯了错误。还有两幅答案。

当 m = 20 又如何？想想错误在何处？

谢谢提醒。。
设 m+12 = p^x
   m-12 = p^y     (x+y = n)
24 = p^y(p^(x-y) - 1)
但gcd(p^y ,p^(x-y)) = 1
而p = 2或3
24 = 2^3 * 3
所以p^y = 8  -> p=2, y=3     2^(x-3) - 1 = 3   -> x=5  -> n = 8, m = 20
p^y = 3      -> p=3, y=1     3^(x-1) - 1 = 8   -> x=3  -> n = 4, m = 15
所以（p,n,m) = (5,2,13) , (2,8,20) , (3,4,15)
看来gcd这招很管用。

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 15-5-2006 03:23 PM 发表

谢谢提醒。。
设 m+12 = p^x
   m-12 = p^y     (x+y = n)
24 = p^y(p^(x-y) - 1)
但gcd(p^y ,p^(x-y)) = 1
而p = 2或3
24 = 2^3 * 3
所以p^y = 8  -> p=2, y=3     2^(x-3) - 1 = 3   -> x=5  -& ...

当然管用啦！哈哈。 这次真的对了！



还有一题　x^2 + 4 = y^5 (unsolved)　的整数解问题。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 15-5-2006 03:29 PM 编辑 ]

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 15-5-2006 03:27 PM 发表


当然管用啦！哈哈。 这次真的对了！



还有一题　x^2 + 4 = y^5 (unsolved)　的整数解问题。

用mod11
任何数目的五次方 == -1或0或1（mod11)
而 x^2 == -2或0或1或3或4或5或（mod11)
所以 x^2 + 4 == -4或-3或-2或2或4或5(mod11)
所以x^2 + 4 = y^5 无解。
解法真的很短

dunwan2tellu

我有一个不错的看　ｍｏｄ　的技巧。

假设你有　a^3 , 你发现　2 x 3 = 7 (prime)　，那么你用模７的话，余数的可能性就只有　１，－１，０．

原因在于 Fermat Little Theorem 里，

a^p == a ( mod p)  ( (a,p)=1,p=prime,a=positive integer )

所以 a^(p-1) == 1 (mod p) ==> a^((p-1)/2) == 1,-1 (mod p) [ a^((p-1)/2==0(mod p) when p|a)］

dunwan2tellu

求所有的整数 a,b,c 使到

a^2 + b^2 + c^2 = 2^(2006^2006)

dunwan2tellu

求证：

2^(n+2) | 3^(2^n) - 1    ( a|b 表示 a 整除 b) , n 是自然数。

但是 2^(n+3) 不能整除 3^(2^n) - 1

或则证明 2^(n+2) || 3^(2^n) - 1  (a || b 表示 a | b but a^2 cannot divide b )

注：以前多普勒曾经在“每周一题”贴一个题目，

证明：3^(n+1) || 2^(3^n) + 1 , n >= 1

看一看这两个题目，是不是很妙呢？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 8-6-2006 09:48 PM 编辑 ]