Pre-U数学难题...

:.孤心.:

line L : r=2i-j+4k + s(i+j-k)
line M : r=-2i+2j+k + t(-2i+j+k)

The point P lies on L and the point Q has position vector 2i-k

(i)Given that the line PQ is perpendicular to L,find the position vector of P
(ii)Verify that Q lies on m and that PQ is perpendicular to m

想问一下各位大大，
如果一个point是在某一条line或plane的话...
我们是否就可以做一个如此的vector eqn：

(那个point的coordinate) + constant(那条line的direction vector/plane r.n=C的n) ??

还有....我们在什么的情况下需要用到cross product?

dunwan2tellu

如果一个point是在某一条line或plane的话...
我们是否就可以做一个如此的vector eqn：

(那个point的coordinate) + constant(那条line的direction vector/plane r.n=C的n) ??

这是在 line 的 equation . 如果是 plane 的话，至少要 3 个 direction vector .

Line equation 的 general form : r = a + sp
Plane 的 general form : r = a + sp + tq   where s,t = constant

还有....我们在什么的情况下需要用到cross product?

(i)求 2 个 line 或 plane 之间的夹角。
(ii) 当两个 vector are perpendicular to each other ==> a . b = 0
(iii)写 plane 的 equation ==> r . n = a . n
(iv)求 shortest distance between two line

不过通常要找角度的题目都是用 dot product

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-5-2006 05:38 PM 编辑 ]

:.孤心.:

(i)求 2 个 line之间的夹角。

erm...我想知道，为什么有时会用
(x,y,z).(a,b,c)=modulus of blablabla cos teta 的？

要怎样知道什么时候要用什么呢？


(iv)求 shortest distance between two line

这个...也不是很明白...为什么cross product可以找到两者之间的shortest distance...
这是for 两条没有intercept到的line之间的shortest distance吗？
要怎样apply这个concept呢？

kensai

原帖由 :.孤心.: 于 6-5-2006 06:06 PM 发表
(i)求 2 个 line之间的夹角。

erm...我想知道，为什么有时会用
(x,y,z).(a,b,c)=modulus of blablabla cos teta 的？

要怎样知道什么时候要用什么呢？


(iv)求 shortest distance between two li ...

'(x,y,z).(a,b,c)=modulus of blablabla cos teta'这个才是general formula,其他的都是这个eqn derived 出来的。

比如 a.b = 0 if a is perpendicular to b, 因为 cos 90 = 0

我只会用 dot product 找 distance between a point and a line,
(given coordinate of point a, and vector equation of line b)

先把vector of line(b) 换去 unit vector, 那么 a.b = a cos teta , modulus of b =1, since b is unit vector.
找到teta 就可以找到 shortest distance,

[ 本帖最后由 kensai 于 7-5-2006 12:33 AM 编辑 ]

kensai

原帖由 dunwan2tellu 于 6-5-2006 05:31 PM 发表


这是在 line 的 equation . 如果是 plane 的话，至少要 3 个 direction vector .

Line equation 的 general form : r = a + sp
Plane 的 general form : r = a + sp + t ...

其实我觉得你把 dot product 和 cross product 搞错了

你说的因该是 dot product, 楼主要的是 cross product,

cross product 是用来找 两个vector 的 perpendicular vector

:.孤心.:

err....第21楼的上半部问题有人可以帮忙解答吗...?
我还不会kuk....

dunwan2tellu

不好意思，看错 dot / cross product

Distance between two screw line :

Suppose the two line is
r1 = a + sb
r2 = c + td

Then the shortest distance , D , is

D = | (c-a) . (b x d)|/|b x d|

dunwan2tellu

line L : r=2i-j+4k + s(i+j-k)
line M : r=-2i+2j+k + t(-2i+j+k)

The point P lies on L and the point Q has position vector 2i-k

(i)Given that the line PQ is perpendicular to L,find the position vector of P
(ii)Verify that Q lies on m and that PQ is perpendicular to m

(i)
from L : r = (2,-1,4) + s(1,1,-1) = (2+s , -1+s , 4-s)
因为 P 在 L 上，所以 P = (2+s,-1+s,4-s)
PQ = ( -s , 1-s , s-5)
==> PQ . L = 0  <==> (-s,1-s,s-5).(1,1,-1) = 0 ==> s = 2
==> P = (4,1,2)

(ii)
M : r = (-2,2,1) + t(-2,1,1) = (-2-2t , 2+t , 1+t)
Q = (2,0,-1) .

equating i,j,k ==> -2-2t = 2 ==> t = -2 . 之后分别把 t=-2 带入其它两个看符合或否，若符合，则 Q lies on M

PQ . M = (-2,-1,-3).(-2,1,1) = 0 <==> PQ 和 M is perpendicular

:.孤心.:

嗯...谢大大的解答！
想请问大大，
在vector的topic里，
有什么诀窍的吗？
小弟我在其他的topic都可以做得还不错的，
唯独vector实在不太容易着手...

:.孤心.:

1.A machine fills ‘one little’ water bottles.
When the machine is working correctly,the contents of the bottles are normally distributed with mean 1.002litres and standard deviation 0.002 litre.The performance of the machines is tested regularly by taking a sample of 9 bottles.If the mean content fills below a certain value,it is assumed that the machine is not performing correctly and it is stopped.

Find P(Type 2 error) if the mean content of bottles has fallen to the nominal value of 1 litre.


2.The average number of flows per 100 meter length of yam is 7.
After the machine has been serviced,the number,X of flows in the first
300 metres of yam is 27.

(a)Find the actual significance level of the test
(b)Estimate P(Type 2 Error) if the average has changed to 10.

dunwan2tellu

还没有学过 type I , type II error 的 hypothesis testing , 不过你可以参考

http://www.psych.uiuc.edu/~regen ... pt#302,1,Last Time:

（我目前正在消化着。)
看完那个 link 里面的资料后，正在想着应该用 normal distribution 的方法，还是 t-distribution 的方法？

:.孤心.:

err....你的那个link的programme是用什么programme开的？

dunwan2tellu

原帖由 :.孤心.: 于 12-5-2006 08:10 PM 发表
err....你的那个link的programme是用什么programme开的？

Window PowerPoint


上面那题是否 P(type II) = 0.9122 ?

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 13-5-2006 09:59 AM 编辑 ]

:.孤心.:

原帖由 dunwan2tellu 于 13-5-2006 09:15 AM 发表


Window PowerPoint


上面那题是否 P(type II) = 0.9122 ?

err...不肯定wo...
我没有答案的..

dunwan2tellu

原帖由 :.孤心.: 于 14-5-2006 12:07 AM 发表



err...不肯定wo...
我没有答案的..

请问你是拿 A-level 的吗？因为在 form 6 只有 further math 有 space vector 和 hypotesis testing 的东西。

:.孤心.:

原帖由 dunwan2tellu 于 14-5-2006 12:36 PM 发表


请问你是拿 A-level 的吗？因为在 form 6 只有 further math 有 space vector 和 hypotesis testing 的东西。

被你看穿了...嗯！

dunwan2tellu

1）Ho : u = 1.002 , q = 0.002 .Test at 5% level of significant .

=>a = 0.05 ==> pick c such that c = u - Z_a * q/sqrt{n} = 1.000903

H_1 : u' = 1 , q= 0.002 .
==> P(type II error) = P(X < c) = P(Z < (c - u')/(q/sqrt{n})
= P(Z <1.3545)
=0.9122

以上是我个人参考那 link 里面的资料后想出来的解答。至于可信度，我也不清楚。

不过以逻辑来看，当你的 experiment 的 mean 和 已知的 mean 很靠近时，要犯 type II error 也相对增加。（Type II error : 应该 reject 的 Ho 没有 reject .)原因是你很难分辨那个真那个假。

不过如果 experiment mean 和 原本的 mean 差很多的话，那么你要犯 type II error 就不会那么容易了。

个人认为第二题有些模糊？没有给与 variance 之类的。会否是 Poisson 呢？奇哉奇哉！

:.孤心.:

请问谁有关于type1&type2 error的一切资料吗？急...明天就考试了，or谁可以帮忙solve以下问题？？？


In a research laboratory where plants are studied,the probability of a certain type of plant surviving was 0.35. The laboratory manager changed the growing conditions and wished to test whether the probability of a plant surviving had increased.

(i)A suitable sample of 8plants was taken and 4 of these 8plants survived.State whether the manager's test is one tailed or two tailed and also state the null and alternative hypotheses.Using a 5% significance level,find the critical region and carry out the test

(ii)Find the probability of a Type II error for the test in part (ii) if the probability of a plant surviving is now 0.4

dunwan2tellu

(i) one tail . Ho : u = 0.35 , H1 >0.35　因为要　test u = 4/8 = 0.5

X - N ( p , p(1-p)/n ) = (0.35 , 0.0284375)    ( p=0.35 , n=8)
Test at 5% level of significant , a = 0.05

critical region = 1.645

p + Z_a *Sqrt[ p(1-p)/n ] = 0.63    [ Z_a = 1.645]

Since 0.5 < 0.63 , no sufficient evidence to reject(或accept) the manager test .

(ii)H1 : p = 0.4 , q = (0.4)(0.6)/8 = 0.03

P(Type II) = P( X < 0.63 ) = P ( Z < (0.63 - 0.4)/sqrt[0.03] )
=P(Z < 1.328)
= 0.9079

不是很肯定，希望有人能帮我检查，毕竟这个topic我正在自修,没有老师可以问。

看来应该是错了。只好读完那些　ｎｏｔｅｓ　再来回答吧。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 2-6-2006 01:35 PM 编辑 ]

bomber27

原帖由 dunwan2tellu 于 2-6-2006 10:19 AM 发表
(i) one tail . Ho : u = 0.35 , H1 >0.35　因为要　test u = 4/8 = 0.5

X - N ( p , p(1-p)/n ) = (0.35 , 0.0284375)    ( p=0.35 , n=8)
Test at 5% level of significant , a = 0.05

critical reg ...

这个test应该是用t distribution，因为N<30(small sample)
T_a(df=7)=1.895

H_0: P> 0.35
H_1: P<=0.35

好像是这样。。

[ 本帖最后由 bomber27 于 4-6-2006 06:56 PM 编辑 ]