等差

1-1000,哪些數字恰可分成 五種 連續奇數的和...
例:
225 = 225 第一種
=73+75+77 第二種
=41+43+45+47+49 第三種
=17+19+21+23+25+27+29+31+33 第四種
=1+3+5+7+.....+29 第五種

請問有幾個數字符合這個條件

dunwan2tellu

如果没有错的话，应该是 10 个。分别是

(i) 2^6 * p  , where p=3,5,7,11,13
(ii)3^4 * p , where p = 5,7,11
(iii)15^2 , 21^2

设这数目可以写成的等差数列的首项 = 2a + 1 , a>=1 , 等差 = 2 , 那么等差数列的级数是

Sn = n/2 * [ 2(2a+1) + (n-1)2] = n(2a+n)

也就是说如果 Sn 只有 5 种方法表示的话，那么  n(2a+n) 就只有 5 pair 的 factor .

这表示那个号码必须有 9 或 10 个 factor 才能成立。又注意到如果
n = even , 那么 2a + n = even ; n = odd , 2a + n = odd

假设符合条件的号码 = K ,那么 K = odd ==> n , 2a+n = odd
要有 10 个 factor 的话，他必须是 5x2 或 10x1 也就是说 p^4 * q 或 p^9 的 pattern .
但是 p^9 明显不能成立。只有 p^4 * q 的 pattern (这里 p,q = prime) 也就是 case(ii)

如果 K = odd , 而且有 9 个 factor , 就表示他的 factor 是 p^2 * q^2 或 p^8 的 pattern.明显 p^8 没有答案。只有 p^2 * q^2 的 pattern ,也就是 case(iii)

如果 K = even ==> n,2a+n = even .那么唯一有 5 个 factor 的 K 只能是 2^6 * p 的 pattern。分别是 (2p,32),(4p,16),(8p,8),(16p,4),(32p,2) ,也就是 case(i)