資優題9501/9502/9503

9501) 設a＞b＞c，a、b、c為整數，若1/a＋1/b＋1/c＝10/11，試求
a、b、c的值？

9502) 四邊形ABCD中，∠ABD＝51°，∠ADB＝72°，∠CBD＝78°，∠CDB＝36°，
求∠CAD－∠CAB＝？

9503)
直角三角形ABC，其中∠C＝90°，設M為BC中點，M到AB的距離為
d。證明：d≦1/3AM

M 到 AB 是 perpendicular distance 吗？不然的话设 AC=2,CM=BM=1 那么
d = MB = 1 > 1/3 sqrt[5] = 1/3 AM .

WLOG let BM=CM=1 , let AM=a .Let the perpendicular line from M to AB be D , such that MD = d , then

AC = sqrt[a^2-1] , CD = sqrt[1-d^2]

又因为
ACB 和 MDC similar

所以 AC/CB = MD/CD ==> sqrt[a^2-1]/2 = d/sqrt[1-d^2]
==> a^2 = (3d^2-1)/(1-d^2)

但是 (3d^2-1)^2>=0 ==> 9d^4-6d^2+1>=0 ==> 3d^2-1>= 9d^2-9d^4=9d^2(1-d^2) ==> (3d^2-1)/(1-d^2) >= 9d^2

所以 a^2 >= 9d^2 ==> a>= 3d <==> 1/3 AM >= d

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-4-2007 11:49 AM 编辑 ]

原帖由 430201 于 26-8-2006 06:55 PM 发表
設a＞b＞c，a、b、c為整數，若1/a＋1/b＋1/c＝10/11，試求
a、b、c的值？

更正

a、b、c為整數

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-4-2007 11:47 AM 编辑 ]

【1】10/11＝1－1/11

1/11－1/12＝1/132

10/11＝1－(1/12＋1/132)
＝1/1＋1/(－12)＋1/(－132)
故a＝1，b＝－12，c＝－132

1/10－1/11＝1/110
10/11＝1－(1/10－1/110)
＝1/110＋1/1＋1/(－10)
故a＝110，b＝1，c＝－10

【2】10/11＝100/110
100＝1＋110－11【找3個110的因數，使其和為100】
10/11＝100/110＝1/110＋110/110－11/110＝1/110＋1/1＋1/(－10)
故a＝110，b＝1，c＝－10

10/11＝120/132【找3個132的因數，使其和為120】
120＝132－11－1
10/11＝120/132＝132/132－11/132－1/132＝1/1＋1/(－12)＋1/(－132)
故a＝1，b＝－12，c＝－132

先求兩組，供各位參考！

【3】
1/x＋1/y＝10/11，x＞y，x、y為整數
11y＋11x＝10xy
10xy－11y－11x＝0
y(10x－11)－11/10(10x－11)＝121/10
(10x－11)(10y－11)＝121
（1）10x－11＝121，10y－11＝1（不合）
（2）10x－11＝－1，10y－11＝－121，得x＝1，y＝－11

1/p＋1/q＝1/11，p＞q，p、q為整數
11q＋11p＝pq
pq－11q－11p＝0
q(p－11)－11(p－11)＝121
(p－11)(q－11)＝121
（1）p－11＝121，q－11＝1，得p＝132，y＝12
（2）p－11＝－1，q－11＝－121，得p＝10，q＝－110

1/1－(1/132＋1/12)＝10/11
1/1＋1/(－12)＋1/(－132)＝10/11
故a＝1，b＝－12，c＝－132

或1/1－﹝1/10＋1/(－110)﹞＝10/11
1/110＋1/1＋1/(－10)＝10/11
故a＝110，b＝1，c＝－10