2006年Olimpiad数学比赛的题目

dunwan2tellu

原帖由 quentin 于 21-5-2006 06:44 PM 发表


(x_i)^4=(x_i)^3 ,i=1,2,...,2006
x_i=0 or 1
x_1+x_2+x_3+...+x_2006=2006,
x_i=1

其实题目没有注明不可以 xi<0 。而且题目应该是给 Sum x_i^4 = Sum x_i^3 而不是 x_i^4 = x_i^3

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 22-5-2006 03:31 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 quentin 于 22-5-2006 09:31 AM 发表


by using cauchy-schwartz inequality,
(a+b)(b+c)(a+c)>=8abc ---1
a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)>=6abc ---2

when 2/1, {a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)}/(a+b)(b+c)(a+c)>=3/4

         ...

对了。不过那不叫 cauchy , 那个应该是 AM-GM 吧！

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 22-5-2006 03:33 PM 发表


对了。不过那不叫 cauchy , 那个应该是 AM-GM 吧！

呵呵之前我老早就发现不对路了不过刚才我上不到网所以只好空着急

~HeBe~_@

原帖由 dunwan2tellu 于 22-5-2006 03:33 PM 发表


对了。不过那不叫 cauchy , 那个应该是 AM-GM 吧！

may i know wat is AM_GM?
and why x_1 ?why got underscore between x and 1?
does it represented any notation of matematics?
thanks..

dunwan2tellu

原帖由 quentin 于 22-5-2006 07:33 PM 发表


呵呵之前我老早就发现不对路了不过刚才我上不到网所以只好空着急

昨天老糊涂了，再回想一下好想不太对劲！

Example :
10 > 1 ...(i)
10> 0.1 ....(ii)

但是 (i)/(ii) 1 > 10 ??? 所以不可以那么证明。

dunwan2tellu

原帖由 ~HeBe~_@ 于 23-5-2006 10:43 AM 发表


may i know wat is AM_GM?
and why x_1 ?why got underscore between x and 1?
does it represented any notation of matematics?
thanks..

AM-GM = arithmetic mean - geometric mean 或称 “平均不等式”

欲知道更多可以参考“初等不等式训练”。

x_1 是一个数列里的第一个数目。

example : in arithemetic progression , T_n = a + (n-1)d . T_1 就是第一个数目，T_i 是第 i 个数目。

~HeBe~_@

哦！明白了。。。
原来你们是用_来代表它。。
我是新手不知道在网上的数学符号。。。
只知道书上的数学符号。。
总于明白了，谢谢你的解释。。。

quentin

呵呵不好意思最近比较忙,多谢DUNWANT2TELLU兄指点.是在下一时大意应该是

by using AM-GM,
a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)>=6abc
4[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]>=3[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]+6abc
4[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]>=3(a+b)(b+c)(c+a)
[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]/(a+b)(b+c)(c+a)>=3/4

                  a^2             b^2           c^2            3
               ----------  +  ----------  +  ----------   >   ---
               (a+b)(a+c)     (b+a)(b+c)     (c+a)(c+b)   -    4

dunwan2tellu

是的　ｑｕｅｎｔｉｎ　网友。请问你是数学系的学生吗？纯数学吗？
我想知道你们目前是先学什么ｔｏｐｉｃ呢？谢谢。

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 28-5-2006 10:28 PM 发表
是的　ｑｕｅｎｔｉｎ　网友。请问你是数学系的学生吗？纯数学吗？
我想知道你们目前是先学什么ｔｏｐｉｃ呢？谢谢。

我是第一年工业数学系的学生,不过本人比较喜欢纯数学
至于课程之前我在工大,工业数学vs纯数学里提过
http://chinese.cari.com.my/myfor ... page%3D1&page=9

4. Let ABC be a triangle inscribed in circle R .Also let the angle bisector line of A,B,C intersect the circumference of circle R at A',B'C' respectively . Denote the intersction of AA' and BC be N ; intersection of C'A' and  BB' be P .Also denote the orthocenter as I . Now , let O be the circumcenter of triangle IPC' , and let the intersecting point between OP produced and BC be M . If BM = MN , and < BAC = 2<ABC , find all the angle <A ,<B,<C in the triangle ABC .

请问dunwant2tellu兄以及其他的网友你们有答案了吗?图小弟已画到了,不过太乱看得眼都快花了

[ 本帖最后由 quentin 于 29-5-2006 12:15 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

先谢谢 quentin 告诉我 pure math 的课程。

至于那题几何题，我是卡在那个 BM=MN 部分，想不通如何运用。可能要多看些几何的题目才有 idea 。

其实我当天比赛时也不断用 angle-chasing ,画角度，不过最终就是和 BM=MN 扯不上任何关系 ...

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 12:26 AM 发表
先谢谢 quentin 告诉我 pure math 的课程。

至于那题几何题，我是卡在那个 BM=MN 部分，想不通如何运用。可能要多看些几何的题目才有 idea 。

其实我当天比赛时也不断用 angle-chasing ,画角度，不过最终 ...

其实那只是工大的课程,不过听讲每间大学数学课程都大同小异只是时间安排的问题.

是吖BM=MN所关系到的三角形可能性有很多,很有难度呵呵

[ 本帖最后由 quentin 于 29-5-2006 07:34 AM 编辑 ]

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 22-5-2006 03:29 PM 发表


其实题目没有注明不可以 xi<0 。而且题目应该是给 Sum x_i^4 = Sum x_i^3 而不是 x_i^4 = x_i^3

Sum x_i^4 = Sum x_i^3  ,i=1,2,...,2006
Sum x_i^4>=0, hence Sum x_i^3>=0

when x_i>1, x_i<0
x_i^4>x_i^3
when 0<x_i<-1
x_i^4<x_i^3

compare two group (eg: )
Sum x_i^4 = Sum x_i^3
x_i^4-x_i^3=0
(x_i^3)(x_i-1)=0
x_i=0,1

since Sum x_i=2006
hence x_i=1

这就是我的答案,怪我笨还是看不懂DUNWANT2TELLU兄的暗示,请DUNWANT2TELLU兄把你的答案公布出来好吗?

dunwan2tellu

我的做法是

Sum x_i^4 - Sum x_i^3 = 0 ==> Sum x_i^3(x_i-1) = 0

==> Sum (x_i^3 - 1 + 1)(x_i-1) = 0

==> Sum (x_i^3 - 1)(x_i - 1) + Sum (x_i - 1) = 0 .....(i)

为了方便，let y = x_i --> Sum (x_i^3 - 1)(x_i - 1)=Sum(y^3 -1)(y-1)
=Sum (y-1)^2(y^2 + y + 1) >= 0  (因为 (y-1)^2 >=0 , y^2+y+1 > 0)

而且 Sum (x_i-1) = ( Sum x_i ) - 2006 = 0

所以 (i) : Sum (y-1)^2(y^2+y+1) = 0

但是由于 (y-1)^2(y^2+y+1) >= 0 , 所以要 = 0 ,只有当 每一个 (y-1)^2(y^2+y+1) = 0 才能成立。所以得到 y = 1 ==> x_i = 1

jinqwem

哇靠，怎么一和五题再历届都有呢。。。
我有教授的解答，迟点放上来

dunwan2tellu

原帖由 jinqwem 于 12-3-2007 02:10 PM 发表
哇靠，怎么一和五题再历届都有呢。。。
我有教授的解答，迟点放上来

可能组办当局的题库“空”了吧？

jinqwem

第一题，如斑竹。
第五题：得f(1)+f(2)+...+f(n-1)=(n^2-1)f(n)
other way.. f(1)+f(2)+...+f(n-1)=(n-1)^2f(n-1)
compare we get...f(n)={(n-1)/(n+1)}f(n-1)
f(n）={[(n-1)!]/[(n+1)!/2]}f(1)
f(n)= [2/{(n+1)(n)}]f(1)
={2/(2006*2007)}1003
=1/2007