■ 函数增减性 ■

mathlim

我再证明Ⅲ的部分：
当 a > b > 2,
f(a) - f(b)
= (a³ + 3a² - 24a) - (b³ + 3b² - 24b)
= ( a³ - b³ ) + 3( a² - b² ) - 24( a - b )
= (a - b)( a² + ab + b² ) + 3(a - b)(a + b) - 24(a - b)
= (a - b)(a² + ab + b² + 3a + 3b - 24)
= (a - b)[(a - 2)(b - 2) + (a - 2)² + (b - 2)² + 9(a + b - 4)] > 0
=> f(a) > f(b)

∴ 函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在[2, ∞)上是增函数。

[ 本帖最后由 mathlim 于 30-4-2009 11:29 AM 编辑 ]

朗木寺

利用增减性的定义证明函数f(x) = x³ + 3x² - 24x 在[-4, 2]上是减函数。

證：已知- 4 > a > b>2

f(a) - f(b)
= (a³ + 3a² - 24a) - (b³ + 3b² - 24b)
= ( a³ - b³ ) + 3( a² - b² ) - 24( a - b )
= ( a - b )( a² + ab + b² ) + 3( a - b )( a + b ) - 24( a - b )
= (a - b)(a² + ab + b² + 3a+ 3b - 24)

a – b>0
只需證a&#178; + ab + b&#178; + 3a + 3b – 24<0
令f(a,b)= a&#178; + ab + b&#178; + 3a + 3b – 24= a&#178; + (b+3)a + (b&#178; + 3b – 24) 以a為變量，圖像開口向下
f(2,b) = b&#178; + 7b – 18=（b+7/2)&#178; -121/4，f(2,-4)=-30，f(2,2)=0，f(2,b)在-121/4和0之間。
f(-4,b) = b&#178; - b – 20=（b-1/2)&#178; -81/4，f(-4,-4)=0，f(-4,2)=-18，f(-4,b)在-81/4和0之間。

因此當- 4 > a >2 時，f(a,b)= a&#178; + (b+3)a + (b&#178; + 3b – 24)始終在y軸下方，因此
f(a,b)= a&#178; + ab + b&#178; + 3a + 3b – 24<0
因此f(a) - f(b)= (a - b)(a&#178; + ab + b&#178; + 3a + 3b - 24)<0，得證。

mathlim

原帖由 朗木寺 于 29-4-2009 11:39 PM 发表
利用增减性的定义证明函数f(x) = x&sup3; + 3x&sup2; - 24x 在[-4, 2]上是减函数。

證：已知- 4 > a > b>2

f(a) - f(b)
= (a&sup3; + 3a&sup2; - 24a) - (b&sup3; + 3b&sup2; - 24b)
= ( a&sup3; - b&sup3; ...

有点小错误！
你的证明复杂了点。

mathlim

Ⅱ的部分的证明：

当 2 > a > b > - 4,

f(a) - f(b)
= (a&sup3; + 3a&sup2; - 24a) - (b&sup3; + 3b&sup2; - 24b)
= ( a&sup3; - b&sup3; ) + 3( a&sup2; - b&sup2; ) - 24(a - b)
= (a - b)( a&sup2; + ab + b&sup2; ) + 3(a - b)(a + b) - 24(a - b)
= (a - b)(a&sup2; + ab + b&sup2; + 3a + 3b - 24)
= (a - b)[(a - 2)(a + 4) + (b - 2)(b + 4) + (a - 2)(b + 4)/2 + (b - 2)(a + 4)/2] < 0
=> f(a) < f(b)

∴ 函数 f(x) = x&sup3; + 3x&sup2; - 24x 在[-4, 2]上是减函数。