独中统考高数问题

VernGalaxy

遇到几项想不到怎么解的题目：
The mothball decreases by half in volume after volatilization every 4 weeks. In the beginning, the volume of a mothball is 2cm^3,the mothball is no longer effective when the volume reduces to 0.3cm^3. Find the effective period of the mothball.

这是需要用到微积分的。我想到v=4/3(pi)r^3（球体公式），对radius微分后得到dv/dr=4(pi)r^2。可是问题要的答案是那个樟脑丸的有效期（time t）为多少。所以我又想到只有chain equation或者尝试让式子变成 dt/dr或者dt/dv，再积分回去就能得到答案。

这里问题是，要怎样把那（t）与式子联系起来呢？
这题答案为：11weeks

mathlim

这是微分方程式的题目

dV/dt ∝ V

dV/dt = -kV

∫(1/V)dV = ∫-kdt

ln |V| = -kt + C1

V = Ce^(-kt)

t = 0, V = 2 → C = 2

t = 4, V = 1 → k = (1/4)ln2

∴ V = 2e^[(-t/4)ln2] = 2×2^(-t/4)

V = 0.3 → t ≈ 10.9479 ≈ 11

VernGalaxy

有兩道題目有點棘手。。。
1. limit n->infinity [(n+10)/(n-1)]^n
2. if x, y, z, w are non-negative integers and x+y+z+w=15, how many sets of solutions are there?


答案分別是e^11和816。

對于第二道題，希望大大能夠將概念解釋一下。。。我對于分配nCr在這上面有點難理解。。。謝謝

mathlim

1. limit n->infinity [(n+10)/(n-1)]^n

[(n+10)/(n-1)]^n
= [1 + 11/(n-1)]^n
= { [1 + 11/(n-1)]^(n-1)/11 }^[11n/(n-1)]
∴ limit n->infinity [(n+10)/(n-1)]^n = e^11

mathlim

2. if x, y, z, w are non-negative integers and x+y+z+w=15, how many sets of solutions are there?

18C3 = 816

.

这18个格子中任选三个放“+”，一种方法就是一种加法组合。
如：

+

+

+

表示 2 + 2 + 3 + 8

+

+

+

表示 6 + 3 + 6 + 0

[ 本帖最后由 mathlim 于 21-9-2009 08:02 AM 编辑 ]

yw46

高招

gal0821

4.x+y+z+u+w=13  ,u,w为奇数，x,y,z为偶数， (x,y,z,u,w)有几种组合?

类似题

mathlim

原帖由 gal0821 于 21-9-2009 05:41 PM 发表
4.x+y+z+u+w=13  ,u,w为奇数，x,y,z为偶数， (x,y,z,u,w)有几种组合?

类似题

偶数+偶数+偶数+奇数+奇数 = 偶数 ≠ 13

gal0821

Let x,y,z be positive odd numbers,u,v be positive even numbers.How many solution sets(x,y,z,u,v）does the equation x+y+z+u+v=13 have?

sorry~

mathlim

原帖由 gal0821 于 1-9-2009 11:43 PM 发表
我是这样算的 设x,y,z分别为2a-1,2b-1,2c-1,u,v分别为2d,2e
2a-1+2b-1+2c-1+2d+2e=13
a+b+c+d+e=8

7C4=35

看到这个做法很棒，我就没有去想其他的方法了！

VernGalaxy

原帖由 mathlim 于 21-9-2009 08:00 AM 发表
2. if x, y, z, w are non-negative integers and x+y+z+w=15, how many sets of solutions are there?

18C3 = 816

.
这18个格子中任选三个放“+”，一种方法就是一种加法组合。
如：

+++

表示 2 + 2  ...

我喜歡這個做法～不過有個問題：
那些格子的數量是不是以可能的數目數量加上多少個(+)來決定的？
像是若題目為：x+y+z=10
是否答案便是 12C2？

mathlim

没错！是的！

VernGalaxy

多謝mathlim大大～～真是不錯的技巧,順便可以和同學分享一下～

這里還有幾個問題：
1. Find the particular solution of the differential equation dy/dx + x(cosy)^2=1, if y=pi/4, when x=1.
2. if a^2x^2+(a+2)y^2+2ax+a=0 is a circle, then a=?

第一題是tan y=(3-x^2)/2
第二題答案是-1

第一題因為Linear in y，可是y卻被cosine限制；倒數變成linear in x，卻又無法把x抽出。做不到Seperate integration，也無法直接積分。要怎么解呢？

第二題我了解Circle的x^2和y^2系數要一樣，解到-1和2,可是一答案看來2不是答案。要怎樣驗證呢？

抱歉因為就要考試了，又置學校假期，沒有老師可以問。。。所以就Post在這里了。。。可能還有很多，希望大大們不要覺得煩我是很感激大大們指點我的！

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 22-9-2009 08:04 PM 编辑 ]

mathlim

1. Find the particular solution of the differential equation dy/dx + x(cosy)^2=1, if y=pi/4, when x=1.
2. if a^2x^2+(a+2)y^2+2ax+a=0 is a circle, then a=?

第一道题：(ax+1)² + (a+2)y² = 1 - a
考虑 1 - a > 0，所以 a < 1。

第二道题：题目应该是  dy/dx + x cos&sup2;y = 0

注：你给的答案代入dy/dx + x(cosy)^2=1并不满足。

斷羽鳥

这几天，这里逛了逛，我觉得mathlim的头脑真的很好下 。。。

mathlim

哪里！哪里！你们谈论的很多个主题，我都不懂。

斷羽鳥

原帖由 mathlim 于 24-9-2009 11:26 AM 发表
哪里！哪里！你们谈论的很多个主题，我都不懂。

头脑好， 跟懂多懂少 。。。没有直接的关系。

VernGalaxy

原帖由 mathlim 于 23-9-2009 06:14 AM 发表
1. Find the particular solution of the differential equation dy/dx + x(cosy)^2=1, if y=pi/4, when x=1.
2. if a^2x^2+(a+2)y^2+2ax+a=0 is a circle, then a=?

第一道题：(ax+1)&#178; + (a+2)y&#178; = 1 ...

啊？
我以為 cos^2 (x) 和 (cosx)^2是一樣的不是嗎？

原帖由 斷羽鳥 于 24-9-2009 09:46 AM 发表
这几天，这里逛了逛，我觉得mathlim的头脑真的很好下 。。。

對啊～我也是看了很多mathlim貼，都很不錯的。
mathlim大大是老師嗎？

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 25-9-2009 01:06 AM 编辑 ]

mathlim

原帖由 VernGalaxy 于 25-9-2009 01:05 AM 发表

啊？
我以為 cos^2 (x) 和 (cosx)^2是一樣的不是嗎？

對啊～我也是看了很多mathlim貼，都很不錯的。
mathlim大大是老師嗎？

是的！cos&sup2;x = (cosx)&sup2;
没错！我是中学老师，请大家多多指教。

VernGalaxy

那題果然是dy/dx+xcos^2y=0啊。。。老師改題目沒告訴我們>.<

這里還有幾個題目。。。
solve for x:
1. cos^2 (x) + cos^2 (2x) + cos^2 (3x)=1
2. sin^2 (x) + sin^2 (2x)=sin^2 (3x)

answer:
1. n*pi +pi/2, n*pi/2+pi/4, b*pi/3+pi/6
2. 2n*pi/3+pi/6,  2n*pi/3-pi/6, n*pi/2

我解到的答案和這里的答案不一樣：
（這里省掉換公式部分。。。懶惰打那么多）
1. ..... ：
cos2x+cos4x+cos6x=-1
2cos3xcosx+cos6x+1=0
2cos3xcosx+2cos^2 (3x)=0
cos3x[cosx+cos3x]=0
然后解general sln，一看就知道和答案不一樣。。。

2. .....：
cos2x+cos4x-cos6x=-1
-2sin4xsin(-2x)=1-cos4x
2sin4xsin2x=2sin^2 (2x)
sin4xsin2x-sin^2 (2x)=0
sin2x(sin4x-sin2x)=0
又是和答案不一樣。。。

如果說要解到標準答案的話，要用什么方法？