AddMaths 一些问题

Legend

F(x)--> X+(5/X)
find the inverse function!

笨蛋一个

F(x)--> X+(5/X)
x=F^-1(x+5/x)

let y=x+5/x
x^2-xy+5=0
用(-b+-sqrt(b^2-4ac))/2
x=(y+-sqrt(y^2-20))/2

F^-1(x)=(x+-sqrt(x^2-20))/2

~HeBe~_@

Given that F(x) = x + 5/x
Let           y = F^(-1) (x)
Then,   F(y)= x
       y + 5/y = x  
y^2 - xy + 5 = 0    (refer to ax^2 + bx + c = 0  =>  x =  [-b +- sqrt(b^2 - 4ac]/(2a)

y = [x +- sqrt(x^2 - 20)]/2
Hence, F^(-1) (x) = y
            F^(-1) (x) = [x +- sqrt(x^2 - 20)]/2

Legend

为什么要用 -b +- sqrt(b^2 - 4ac]/(2a) 的??
我们form 4  的第一课都没学到!!

menglee

F4第二课的东西，如果没记错。

~HeBe~_@

你们的程度来说:
Factorisation 有两种：
Exp: x^2 + 5x + 6 = 0
方法一：

(x   + 3)(x  +  2 )=0
x= - 3  or  x = - 2

方法二：

By completing the square

x^2 + 5x + 6 = 0

x =  [ -5 +- sqrt(b^2 - 4ac) ]/(2a)
   = [ -5 +- sqrt(5^2 - 4(1)(6)) ]/(2 x 1)
   = [ - 5 +- sqrt(25 -24)]/2
   = ( -5 +- 1 )/2
   = (-5 - 1)/2  or (-5 + 1)/2
   = -3             or      -2

两个方法都可以找出x.
其实， 你通常是用方法一来factorise.
若无法或想不到怎样去factorise，就用方法二去factrorise就是利用formulae.

   =

外星護法

借你的貼問一題...

express square root of (38-12(square root of 10)) in form of

a(square root of 2) + b (square root of 5)

~HeBe~_@

Solution:

sqrt[ 38 - 12 sqrt(10)] = a sqrt(2) + b sqrt (5)
      38 - 12 sqrt (10) = [a sqrt(2) + b sqrt (5)]^2
      38 - 12 sqrt (10) = 2a^2 + 2ab sqrt(10) + 5b^2
      38 - 12 sqrt (10) = (2a^2 + 5b^2) + 2ab sqrt(10)
Equating the both sides,

LHS: 38 = 2a^2 + 5b^2 ----------1
RHS:- 12= 2ab  -----------------2

From eqn 2, - 12 = 2ab
               b = -6/a ---------3

Substitute eqn 3 into eqn 1,
      
                 38 = 2a^2 + 5(-6/a)^2
                 38 = 2a^2 + 5(36/a^2)
        2 a^4 + 180 = 38a^2
2 a^4 - 38a^2 + 180 = 0
  a^4 - 19a^2 + 90  = 0
(a^2 - 9 )(a^2 - 10)= 0
a^2 = 9 or a^2 = 10
   a = sqrt(9) or a = sqrt(10)

Take values of a substitue into eqn 3,
then you will get the values of b.

After you knew the values of a and b,
then you need to substitute the values of a and b into the equation,
sqrt[ 38 - 12 sqrt(10)] = a sqrt(2) + b sqrt (5),
to verify which value of a and b is satisfy the equation.
Then, you choose the verified value of a and b plug into a sqrt(2) + b sqrt (5).
Therefore, you will form that equation.

mathlim

原帖由 外星護法 于 24-6-2009 09:53 PM 发表
借你的貼問一題...

express square root of (38-12(square root of 10)) in form of

a(square root of 2) + b (square root of 5)

必须注明 a, b is rational number.

√(38-12√10)
= √2 √(19-6√10)
= √2 √(19-2√90)
= √2 (√10 - √9)
= 2√5 - 3√2

mathlim

√(38 - 12√10)
= √(38 - 2√360)
= √[20+18 - 2√(20×18)]
= √20 - √18
= 2√5 - 3√2

外星護法

= √[20+18 - 2√(20×18)]
= √20 - √18

怎样变的 ？？？

外星護法

原帖由 ~HeBe~_@ 于 24-6-2009 11:22 PM 发表
Solution:

sqrt[ 38 - 12 sqrt(10)] = a sqrt(2) + b sqrt (5)
      38 - 12 sqrt (10) = [a sqrt(2) + b sqrt (5)]^2
      38 - 12 sqrt (10) = 2a^2 + 2ab sqrt(10) + 5b^2
      38 - 12 sqrt (10) = (2 ...

答案找到了。。谢谢你～～
不过。。很长～

mathlim

原帖由 外星護法 于 26-6-2009 06:02 PM 发表
= √[20+18 - 2√(20×18)]
= √20 - √18
怎样变的 ？？？

a > b ≥ 0,

(√a ± √b)² = a+b ± 2√ab


√(a+b ± 2√ab) = √a ± √b

外星護法

原帖由 mathlim 于 26-6-2009 06:18 PM 发表


a > b ≥ 0,

(√a ± √b)² = a+b ± 2√ab


√(a+b ± 2√ab) = √a ± √b

对哦～
我怎么没想到～～
非常谢谢你～～

Legend

我还有一道简单的问题. 但我solve 不到,应该是我忘了些什么吧!
请指教!

is an arithmetic progression. Tn= 15+5n
find  the sum of the progression!!

mathlim

Tn = 15 + 5n

T1 = 20

Sn = (n/2)(T1 + Tn)
      = (n/2)(20 + 15 + 5n)
      = (5/2)n² + (35/2)n

外星護法

再借帖问一题：

prove that

A U B - A ∩ B = [A-(A∩B) U [B-(A∩B)]

~HeBe~_@

A U B - A ∩ B = [A-(A∩B) U [B-(A∩B)]

Proof:

RHS = [A-(A∩B) U [B-(A∩B)]
        = [(A - A) U (A - B)]  U [(B - A) u (B - B)]
        = Null set  U (A - B)  U (B- A) u Null set
        = (A - B)  U (B - A)
        = (A ∩ B') U (B ∩ A')
        = [(A ∩ B') U B]   ∩   [(A ∩ B') U A']
        = (B U A) ∩ (B U B') ∩ (A' U A) ∩ (A' U B')
        = (B U A) ∩ Universal set ∩ Universal set ∩ (A' U B')
        = (B U A) ∩ (A' U B')
        = (A U B) ∩ (A ∩ B)'
        = (A U B)  -  (A ∩ B)

Ivanlsy

另一个证法~

(A U B) - (A ∩ B) = (A U B) ∩ (A ∩ B)'
                              = [A ∩ (A ∩ B)'] U [B ∩ (A ∩ B)']
                              = [A - (A ∩ B)] U [B - (A ∩ B)]

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 1-7-2009 03:10 PM 编辑 ]

mathlim

再一个证法：

[A \ (A ∩ B)] U [B \ (A ∩ B)]

= [A ∩ (A ∩ B)'] U [B ∩ (A ∩ B)']

= (A U B) ∩ (A ∩ B)'

= (A U B) \ (A ∩ B)