相切圓

半徑分別為1公分、2公分、3公分的三個圓原互相外切，有一個小圓落在它們之間，且與它們都相切。求此小圓之半徑？

jhwong_alen

原帖由 430201 于 28-8-2007 10:01 AM 发表
半徑分別為1公分、2公分、3公分的三個圓原互相外切，有一個小圓落在它們之間，且與它們都相切。求此小圓之半徑？

不明白问题列。。有图画吗？？

半徑分別為1公分、2公分、3公分的三個圓A、B、C互相外切，有一個小圓O落在它們之
間，且與它們都相切。求此小圓O之半徑r？

作ΔABC，得AB＝3、AC＝4、BC＝5，則∠A＝90度
作OD⊥AB於D，作OE⊥AC於D
則AD＝OE＝x，OD＝AE＝y
在ΔABO中，利用商高定理二次，以r來表示x
在ΔACO中，利用商高定理二次，以r來表示y
代入x^2＋y^2＝1，解之，得r＝23/6

mathlim

原帖由 430201 于 28-8-2007 10:01 AM 发表
半徑分別為1公分、2公分、3公分的三個圓原互相外切，有一個小圓落在它們之間，且與它們都相切。求此小圓之半徑？

把题目稍微修改：

半徑分別為1公分、2公分、3公分的三個圓原互相外切，有一個大圓包含它們，且與它們都相切。求此大圓之半徑。

mathlim

我把图画出来了。
红色小圆半径已经求出来，
现在要求的是蓝色大圆半径。

jhwong_alen

原帖由 mathlim 于 30-8-2007 01:50 PM 发表


我把图画出来了。
红色小圆半径已经求出来，
现在要求的是蓝色大圆半径。

红色小圆半径是多少阿？？
是0.5615吗？

mathlim

哦！对不起！我弄错了。
我自己还没有去解。
我以为#3已经解出来。
从图中可知，
#3的解r＝23/6显然是错的。

mathlim

原帖由 430201 于 28-8-2007 09:51 PM 发表
半徑分別為1公分、2公分、3公分的三個圓A、B、C互相外切，有一個小圓O落在它們之
間，且與它們都相切。求此小圓O之半徑r？

作ΔABC，得AB＝3、AC＝4、BC＝5，則∠A＝90度
作OD⊥AB於D，作OE⊥AC於D
則AD＝OE＝x，OD＝AE＝y
在ΔABO中，利用商高定理二次，以r來表示x
在ΔACO中，利用商高定理二次，以r來表示y
代入x^2＋y^2＝1，解之，得r＝23/6

以上应该有两个小错误！
作OE⊥AC於E
x^2＋y^2＝(r+1)^2

mathlim

我解出来了！小圆半径是6/23。
看来430201只是犯了打字的错误。

jhwong_alen

想问一下。。什么是“商高定理二次”啊？

yaahoo

mathlim 的图让我想起10年前给同学的科学展览题目给定三个圆（不一定相切）如何用尺规作出与它们同时相切的圆（可能在外，也可能在内） ？应该是挺有挑战性的题目

嘻嘻

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 30-8-2007 06:23 PM 发表
想问一下。。什么是“商高定理二次”啊？

‘商高定理’就是‘毕氏定理’咯！
又叫‘勾股定理’。
意思是用‘毕氏定理’两次。

mathlim

原帖由 yaahoo 于 30-8-2007 06:31 PM 发表
mathlim 的图让我想起10年前给同学的科学展览题目给定三个圆（不一定相切）如何用尺规作出与它们同时相切的圆（可能在外，也可能在内） ？应该是挺有挑战性的题目

嘻嘻

科学展览！很有意思！你的题目也很有意思！
这样的圆，可能不存在，而最多有八个。

yaahoo

其实我很好奇你的图是怎么画出来得！是尺规作图吗？

mathlim

作ΔABC，得AB＝3、AC＝4、BC＝5，則∠A＝90度
作OD⊥AB於D，作OE⊥AC於E
則DA＝OE＝x，DO＝AE＝y
在ΔODA与ΔODB中，OD = OD，
(r+2)^2 – (3-x)^2 = (r+1)^2 – x^2
x = (3-r)/3
在ΔOEA与ΔOEC中，OE = OE，
(r+3)^2 – (4-y)^2 = (r+1)^2 – y^2
y = (2-r)/2
代入 x^2＋y^2 ＝(r+1)^2，
解之，得 r ＝6/23。

注：这个做法是从#3学来的。

mathlim

我是用Microsoft Word作画罢了。
先解出来，再按照比例画图。
不然的话，慢慢调整也可以。

jhwong_alen

原帖由 mathlim 于 31-8-2007 10:43 PM 发表


作ΔABC，得AB＝3、AC＝4、BC＝5，則∠A＝90度
作OD⊥AB於D，作OE⊥AC於E
則DA＝OE＝x，DO＝AE＝y
在ΔODA与ΔODB中，OD = OD，
(r+2)^2 – ( ...

哦。。看了你的解法我了解了。。。谢谢哦。。

mathlim

以前，有人教我用paint作图,
也有人要教我用power point作图。
其实Microsoft Word就已经有足够的作图功能，
只是一般上很少人掌握。

mathlim

作ΔABC，得AB＝3、AC＝4、BC＝5，則∠A＝90度
作OD⊥AB於D，作OE⊥AC於E
則DA＝OE＝x，DO＝AE＝y
设蓝色大圆半径为R。
在ΔODA与ΔODB中，OD = OD，
(R-2)^2 – (x-3)^2 = (R-1)^2 – x^2
x = (R+3)/3
在ΔOEA与ΔOEC中，OE = OE，
(R-3)^2 – (y-4)^2 = (R-1)^2 – y^2
y = (R+2)/2
代入x^2＋y^2 ＝ (R-1)^2，
解之，得R ＝ 6。

这两个题目，解题过程完全一样。
最后分别解得：
(23r - 6)(r + 6) = 0 与 (R - 6)(23R + 6) = 0

mathlim

我按照比例作图，的确与所求符合。