极值题

shingrons

我到现在还不会解
完全没有头绪

f(x)=ax^2+bx+c
在[-2,2]上有最大值7
求|a|+|b|+|c|的最大值

~Lucifer~

我也有一题

当x接近零的时候，  x^2/(1-cos x)=?

请大家快点帮我解决这问题！我做这题时一直不懂x^2这样东西要如何解决。

bomber27

原帖由 ~Lucifer~ 于 13-11-2006 05:55 AM 发表
我也有一题

当x接近零的时候，  x^2/(1-cos x)=?

请大家快点帮我解决这问题！我做这题时一直不懂x^2这样东西要如何解决。

1- cos x= 2(sin x/2)²

x²/2(sin x/2)² = 4(x/2)²/2(sin x/2)²
               = 2[(x/2)/sin (x/2)]²
               = 2

shingrons

或者用洛必达法则

lim x^2/(1-cos x) (x->0)
=lim 2x/sinx  (x->0)
=lim 2/cosx   (x->0)
=2

~Lucifer~
你不懂怎样处理主要可能因为
你还没学到洛必达法则和
lim sinx/x=1 (x->0)
洛必达法则的严谨证明我在独中也没上到
而lim sinx/x=1 (x->0)
可以用夹挤定理证明到

[ 本帖最后由 shingrons 于 13-11-2006 01:02 PM 编辑 ]

~Lucifer~

谢谢大家的帮助!还有,洛必达法则是???有网站介绍吗?今天我才刚刚掌握这类问题德skill。还有In这些还没去看。



刚刚找到网站了，在学着中

[ 本帖最后由 ~Lucifer~ 于 13-11-2006 04:42 PM 编辑 ]

shingrons

洛必达法则(L'Hospital)法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值得方法。
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时  lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时  lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

从百度百科抄过来的
介绍和证明在这里
http://www.filesend.net/download ... 4ba36b0e038f0ff98eb
我还没学....

dunwan2tellu

原帖由 shingrons 于 12-11-2006 10:25 PM 发表
我到现在还不会解
完全没有头绪

f(x)=ax^2+bx+c
在上有最大值7
求|a|+|b|+|c|的最大值

经过分析，不可能有最大值。
如果 max f(x) 在 -2 =< x =< 2 ,那么取 a --> - oo
如果 max f(x) = f(2) 或 f(-2) ,可取 b 或 c 无限大。

dunwan2tellu

如果是找 minimum 的话，

a >= 0 ; min |a|+|b|+|c| = 7/4

a < 0 ; min |a|+|b|+|c| = 7

~Lucifer~

不好意思，打断你们MAGIC PARTY的讨论一下子。

（2sinx+cosx)^(1/x)，x approach to 0时，会变成？？？答案好像是e^2.dunwan2tellu,相信你会是最快为我解答的那个人。


20分钟了，dunwan2tellu,我等你等到我心痛。

[ 本帖最后由 ~Lucifer~ 于 7-2-2007 10:00 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

不好意思，我刚刚出去，现在才回来

照我看  x-> 0 , cos x -> 1 , sin x -> x

=> 2sin x + cos x -> 2x + 1

=> (2sin x + cos x)^1/x -> (2x + 1)^1/x = [(2x + 1)^1/2x]^2 -> e^2

但是暂时还想不到一个完整的写法

jinqwem

刚刚想了一下, 不知可不可以这样做?
LET （2sinx+cosx)^(1/x)= A
(1/x)*ln（2sinx+cosx)= ln(A)
当lim ( x >> 0) , (1/x)*ln（2sinx+cosx)=ln（2sinx+cosx)/x 无解, 所以上下differentiate ,
得lim ( x >> 0) ( 2cosx - sinx )/ (2sinx+cosx),
sub x = 0, it become (2cos0 - sin0)/(2sin0+cos0)= (2-0)/(0+1)=2/1=2
therefore,  lim ( x >> 0) , (1/x)*ln（2sinx+cosx)=2=ln(A)
A= e^2

dunwan2tellu

原帖由 jinqwem 于 8-2-2007 10:05 AM 发表
刚刚想了一下, 不知可不可以这样做?
LET （2sinx+cosx)^(1/x)= A
(1/x)*ln（2sinx+cosx)= ln(A)
当lim ( x >> 0) , (1/x)*ln（2sinx+cosx)=ln（2sinx+cosx)/x 无解, 所以上下differentiate ,
得lim ...

如果有学过 L-Hopital Rule , 就可以用这方法

shingrons

原帖由 dunwan2tellu 于 7-2-2007 10:57 PM 发表
不好意思，我刚刚出去，现在才回来

照我看  x-> 0 , cos x -> 1 , sin x -> x

=> 2sin x + cos x -> 2x + 1

=> (2sin x + cos x)^1/x -> (2x + 1)^1/x = ^2 -> e^2

但是 ...

好久没来了
这题很熟，做了很多次
下面lim的下面都是x->0

lim（2sinx+cosx)^(1/x)
=lim e^ln[（2sinx+cosx)^(1/x)]
=lim e^{[ln（2sinx+cosx)]/x}
=e^lim {[ln(2sinx+cosx)]/x}
=e^lim [(2cosx-sinx)/(2sinx+cosx)]
=e^2