一些中学数学题

chiaweiwoo1

1〕0.1 + .02 + .003 + .0004 + .... + .0000000009 + .00000000010 + .....
  =???
  (从mathlinks拿来的题目，答案是分数〕

2)有一个6位数，个位数是1，当将这数的个位数1移到第6位数，会形成另一数，
  前者是后者的3倍。这数是什麽数?（不可用计算机〕

3)

  ABCD是大的四边形
  AO=9
  BO=4
  CO=7
  DO=8
  小四边形的面积是大的四边形的面积的6分之1。
  p,q,r,s是正整数。
  求(p^2+q^2+r^2+s^2)的maximum和minimum。(小弟自己想的，请大家试试！如太简
  单，不要笑我)

4)N是四位数。当除21时余10，除时23余11,除时25余12。N是什麽数？

5)A+B+C=90度,A,B,C>0，证明sinA+sinB+sinC>=1

6)


  求三角形面积。(不清楚，长度是7和8〕

7)y=sinx, dy/dx=cosx
          d^2y/dx^x=-sinx
          d^ny/dx^n=???

8)a^b=b^a=a/b, a不等于b,ab/(a-b)=???

[ 本帖最后由 chiaweiwoo1 于 11-10-2005 01:08 AM 编辑 ]

hamilan911

2）假设前五个位数是a。
10a + 1 = 3 ( 100000 + a )
7a = 299999
a =  42857
所以那数字是428571。

[ 本帖最后由 hamilan911 于 11-10-2005 10:23 AM 编辑 ]

hamilan911

4）用中国余定理可找出N是6037。

dunwan2tellu

1)等差等比混合级数 。先设 S = 0.1+0.02 +... 再 乘10 得10S .后相减得到 S =10/81

5) 题目等价于证明 sinA+sinB+sinC-sin90 >=0

由于sinA+sinB=2sin[(90-C)/2]cos[(A-B)/2]
sinC-sin90=2cos[(C+90)/2]sin[(C-90)/2]

所以
sinA+sinB+sinC-sin90
＝2sin[(C-90)/2]{cos[(A-B)/2]-cos[(C+90)/2]}

但是
cos[(A-B)/2]-cos[(C+90)/2]
＝2sin[(A-B-C-90)/4]sin[(A-B+C+90)/4]
=-2sin[(B+C)/2]sin[(A+C)/2] =< 0

而且 sin[(C-90)/2]=<0 .综合得到 sinA+sinB+sinC-sin90 >=0
证毕

6)设圆半径为 r , 圆心为O,三角形ABC直角于B .M为AC线上一点使到AM＝７，CM＝８。所以

tan OAM = r/7 , tan OCM = r/8 , OAM + OCM = 45 。用这三个方程得到 r^2 + 15r = 56 .但是 ABC面积是 1/2 x (7+r)(8+r) 。所以综合便可得到答案。

7) 分cases . (i)n=4k (ii)n=4k+1 (iii)n=4k+2 (iv)n=4k+3 时分别得到 (i)sin x,(ii)cos x , (iii) -sinx  (iv)-cos x

8)简化的 b^(a+1)=a ; a^(b-1)=b^(-1) 。把这两样综合就会发现  ab=a-b


看来最难的竟然是第３。哈哈。暂时还没想到

dunwan2tellu

第3题我只做到

(p+r)(q+s)=32 . Minimum 是当 p=q=r=s= 2sqrt 2 所以 sum p^2 = 32

但是maximum的，我想应该是当 p=9,r=7 , q->2 , s->0 。 这里 q->2表示q接近2。所以max -> 9^2 + 7^2 + 2^2 =134 。

有其他意见吗？

chiaweiwoo1

如果你们喜欢的话，我一星期给一些。要吗？

chiaweiwoo1

p,q,r,s 是整数啊。。。。

dunwan2tellu

怎么没看到"正整数"那三个字!!!那么答案就是当 p=9 , r=7 , q=s=1 时最大咯？

Min : p=r=4 , q=s=2  -->40
Max : p=9,r=7,q=s=1 --->132

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 12-10-2005 04:08 PM 编辑 ]

chiaweiwoo1

9) 证明 18^35>35!

10)n,y is positive integer,
     1!+2!+3!+4!+5!+....+n!=y^2
      Find (x,y).

11)p+q=2, 证明 p^3+q^3>=2

12) a1*a2*a3*a4........an=1
       ai is positive real number (i=1,2,3,4,5,6,.....n)
       prove that (2+a1)(2+a2)(2+a3)................(2+an)>=3^n
       (a1 means 1st a, a2 means 2nd a)

[ 本帖最后由 chiaweiwoo1 于 13-10-2005 12:16 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

9) AM-GM , (1+2+3+...+35)/35 > (1x2x3x...x35)^(1/35)

所以得到 18^35 > 35!

10)不难发现(n,y)=(1,1),(3,3) 。当n>3 时，左右拿mod 5得到

3＝y^2(mod 5)  但是 y^2(mod5)只能是0,1,4故n>3时无解。

11)AM-GM , p+q >= 2 sqrt(pq) ---> pq =< 1

p^3+q^3 = (p+q){(p+q)^2-3pq}=2(4-3pq)>=2(4-3)=2

12)先AM-GM --> ai+2=ai+1+1 >= 3(ai)^(1/3)后再乘起来。

chiaweiwoo1

dunwan2tellu, 你果然强！！！

chiaweiwoo1

5) 其实有一个很美的解。



用三个小triangle的面积>大triangle的面积
(AOD是半径1的四分之一的圆〕

9)a^2>a^2-i^2
  a^2>(a+i)(a-i)

  18^2>(18+1)(18-1)
  18^2>(18+2)(18-2)
  .......
  18^2>(18+17)(18-17)
  将全部乘起来。
  18^35>35!


11)p+q=2, 证明 p^3+q^3>=2

  其实有很多方法，但有一个方法我很咋到

  p=2-q代入p^3+q^3
  然后用配方，得6（q-1)^2+2>=2
  原来不必用什麽公式的。。。。。。。。

[ 本帖最后由 chiaweiwoo1 于 17-10-2005 11:09 PM 编辑 ]

chiaweiwoo1

13)x>y>0,x,y是正整数。x^2+y^2=2000。(x,y)=???

14)证明18<1+2^(-1/2)+3^(-1/2)+4^(-1/2)+.........+100^(-1/2)<19

15)x>y>0,x,y是正整数。x^(1/2)+y^(1/2)=2009^(1/2), (x,y)=???

dunwan2tellu

第５题果然漂亮！！

13)x>y>0,x,y是正整数。x^2+y^2=2000。(x,y)=???

拿mod 4 得到 x^2 + y^2 == 0 (mod 4) 意味着 x,y都是偶。设x=2x' , y=2y' 得 x'^2 + y'^2 = 500 .再次mod 4得 x',y'是偶所以 x'=2x" , y'=2y" 得 x"^2 + y"^2 = 125 .不难看出x" = 10 , y"= 5 所以 x = 40 , y=20

14)证明18<1+2^(-1/2)+3^(-1/2)+4^(-1/2)+.........+100^(-1/2)<19

只证明到 LHS .更强的inequality 是 >18.55

由于 AM-HM ;1/sqrt(k) + 1/sqrt(k+1) >= 4/{sqrt(k)+sqrt(k+1)} = 4{sqrt(k+1)-sqrt(k)}

所以  设S＝1+2^(-1/2)+3^(-1/2)+4^(-1/2)+.........+100^(-1/2)
则 2S >= sum 4{sqrt(k+1)-sqrt(k)}+1 +(1/10) = 4x9+1+1/10 =37.1  所以 S>= 18.55  

15)x>y>0,x,y是正整数。x^(1/2)+y^(1/2)=2009^(1/2), (x,y)=???

2009 = 7x7x41 .所以 sqrt(x) + sqrt(y) = 7sqrt(41).
设 sqrt(x) = x'sqrt(41) ; sqrt(y) =y'sqrt(41) , x'>y'

解得 (x',y') = (6,1),(5,2),(4,3).倒回去就可以找到x,y

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 19-10-2005 04:19 PM 编辑 ]

xuan88

哇～～～dunwan2tellu你还是中学生吗？？？？？？
怎么脑筋这么棒～～～～
好变态～～～AMC都出这种题目吗？

dunwan2tellu

原帖由 xuan88 于 9-3-2006 04:34 PM 发表
哇～～～dunwan2tellu你还是中学生吗？？？？？？
怎么脑筋这么棒～～～～
好变态～～～AMC都出这种题目吗？

我是中六生。AMC 题目会比这些要简单。不过当中会有 2 , 3 提较难。