怎样画 x^y = y^x

pipi

又是若干年前，有个老师要我画以下的图。

x^y = y^x,    x,y>0

我画不到，你们试试。

斷羽鳥

一条直线, y = x ????????????

pipi

斷羽鳥 于 15-4-2004 01:26 PM  说 :
一条直线, y = x ????????????

据我所知，不只是这样。不过是怎样，我不知道。

pipi

下午突然得到灵感，知道怎样做了...
先保留保留，不要坏了各位仁兄的兴致。

多年没动的问题，终于被解决，很爽！

斷羽鳥

先别说！ 让我玩玩！！！！！ 10Q 啊！

情~風

pipi

情~風
怎么你的图有一点点怪怪的。

pipi

还有人要试试吗？？

我的做法中可证到：
(1) 若 0<a<b<e, e＝2.718281828...
    则 a^b < b^a
(2) 若 e<a<b, e＝2.718281828...
    则 a^b > b^a

详情将在礼拜一之后揭晓。。。

pipi 于 7-5-2004 12:41 PM  说 :
还有人要试试吗？？

我的做法中可证到：
(1) 若 0<a<b<e, e＝2.718281828...
    则 a^b < b^a
(2) 若 e<a<b, e＝2.718281828...
    则 a^b > b^a

详情将在礼拜一之后揭晓。。。 ...

太难了啦。。。
想不到。。。

pipi

sinchee 于 8-5-2004 01:49 AM  说 :


太难了啦。。。
想不到。。。

sinchee 网友，你可以的。。。
请再试试！！

pipi 于 17-4-2004 10:40 PM  说 :
情~風
怎么你的图有一点点怪怪的。

如果情~风网友的图中间不怪怪的话，好像对了！？？？

微中子

我得到了

y = x

还有一个curve

x = c^(1/(c-1))
y = c^(c/(c-1))

c > 0, c ≠ 1

补充:
c -> 1, x, y -> e.
而且,
代入d=1/c
=> 那个曲线有symmetry(reflection at y=x)

[ Last edited by 微中子 on 9-5-2004 at 02:09 PM ]

pipi

sinchee 于 9-5-2004 11:05 AM  说 :


如果情~风网友的图中间不怪怪的话，好像对了！？？？

没错！！

情~风网友, 可否告知你如何得到那图？

微中子 于 9-5-2004 01:43 PM  说 :
我得到了

y = x

还有一个curve

x = c^(1/(c-1))
y = c^(c/(c-1))

c > 0, c ≠ 1

补充:
c -> 1, x, y -> e.
而且,
代入d=1/c
=> 那个曲线有symmetry(reflection at y=x)

[ La ...

pai se, 微兄，我不太懂你的解答。。。
（还是在 KL 比较方便我上网）

[ Last edited by pipi on 10-5-2004 at 03:18 PM ]

pipi

我的图是：

其中 x=1 及 y=1 是渐进线(asymptotes; 直线与曲线的交点是(e,e), e≈2.718281828...

[ Last edited by pipi on 10-5-2004 at 08:30 PM ]

pipi

我的做法是通过
x^y = y^x
ln(x^y) = ln(y^x)
y ln(x) = x ln(y)
(ln(x))/x = (ln(y))/y

所以考虑
f(x) = (ln(x))/x
不难发现 （画出） y=f(x) 的图。
设 a 为常数。
若 0 <a <=1 或 a = e,  e≈2.718281828...
直线 y = (ln(a))/a 必定与 y=f(x) 相交

若 a > e
直线 y = (ln(a))/a 没有与 y=f(x) 相交

若 1< a < e
直线 y = (ln(a))/a 必定与 y=f(x) 相交与相异的两点。也就是说存在着 b(>e), such that f(a) = f(b)。
即 a^b = b^a 。

而且，当 a --> 1， b --> 正无限；当 a --> e ， b --> e 。

报告完毕！！！

[ Last edited by pipi on 10-5-2004 at 08:30 PM ]

情~風

pipi 于 10-5-2004 03:26 PM  说 :
我的图是：

其中 x=1 及 y=1 是渐进线(asymptotes; 直线与曲线的交点是(e,e), e=2.718281828...

[ Last edited by pipi on 10-5-2 ...

沒什麼..用手繪了畫上去..中間那邊畫歪了不好意思

微中子

我是这样做的.
x^y = y^x
x,y>0

y = x logx y

我让 y = x^c
c > 0
(c < 0 不能够,因为y,x>0.
c = 0, x是finite的话,y = x^0 = 1, 不过 y = cx = 0.
这样讲对吗?
)

c = 1,
y = x. --------------------- (1)

c ≠ 1, c > 0
x^c = cx
x^(c-1) = c

x = c^(1/(c-1)),
                  ---------- (2)
y = c^(c/(c-1)),

所以,
要画的是以上两个线.


对吗?

补充,
curve2,
当c-> 1, x,y ->e.
当c-> 0, y ->1, x-> ∞
当c-> ∞, x ->1, y-> ∞

[ Last edited by 微中子 on 10-5-2004 at 05:06 PM ]

pipi

微中子 于 10-5-2004 04:53 PM  说 :
我是这样做的.
x^y = y^x
x,y>0

y = x logx y

我让 y = x^c
c > 0
(c < 0 不能够,因为y,x>0.
c = 0, x是finite的话,y = x^0 = 1, 不过 y = cx = 0.
这样讲对吗?
)

c = 1,
y = x. - ...

漂亮！！


不过，我有个疑问：为什么一开始我们可以设 y=x^c ??
会不会可能出现 y=ax^2 + bx + c （假设）？？
或其它的形式？？

pipi

情~風 于 10-5-2004 04:45 PM  说 :


沒什麼..用手繪了畫上去..中間那邊畫歪了不好意思

厉害！厉害！
我经过多年后的现在才想到答案。。。
后生可畏！！

微中子

pipi 于 10-5-2004 08:36 PM  说 :


漂亮！！


不过，我有个疑问：为什么一开始我们可以设 y=x^c ??
会不会可能出现 y=ax^2 + bx + c （假设）？？
或其它的形式？？

不过还是可以找到y = x^c的那个c吧?

我是要简化logx y 所以故意让y=x^c.

我想,在题目所给的条件里,
logx y 总该有个值吧?


补充: 就是我让每一点的(x,y)换成(x,x^c),c 算是parameter

[ Last edited by 微中子 on 10-5-2004 at 08:55 PM ]