University-数学讨论区-Calculus, Real Analysis

Ivanlsy

微积分是一种研究变化的数学。
分析学的发明，是为了让微积分更加地严谨。

farway4

有谁会做下面的题目？帮帮忙吧。。。。。要交作业了。。。。。。

Justify whether the following series converge or diverge. If convergent, then calculer its value.
（以下是series的general term)
(1) a_n = x^n cos nt  where x and t are constant in the interval ]-1,1[ and R respectively.

(2) a_n = e - (1+ 1/n )^n

(3) a_n = Arctan ( 2n / (n^4 + n^2 +2) )

上课不听书的后果。。。。。

farway4

呜呜。。。。。没有人会做吗？

mathlim

原帖由 farway4 于 15-11-2008 11:25 PM 发表
Justify whether the following series converge or diverge. If convergent, then calculer its value.
（以下是series的general term)
(1) a_n = x^n cos nt  where x and t are constant in the interval ]-1,1[ and R respectively.

(2) a_n = e - (1+ 1/n )^n

(3) a_n = Arctan ( 2n / (n^4 + n^2 +2) )

(1) a_n = x^n cos nt  where x and t are constant in the interval ]-1,1[ and R respectively.
converge.
-1 ≤ cosnt ≤ 1, x^n → 0 as n → ∞,
∴ x^n cosnt → 0 as n → ∞.

(2) a_n = e - (1+ 1/n )^n
converge.
e - (1+ 1/n )^n → e - e = 0 as n → ∞.

(3) a_n = Arctan ( 2n / (n^4 + n^2 +2) )
converge.
Arctan ( 2n / (n^4 + n^2 +2) ) → Arctan0 = 0 as n → ∞.

mathlim

你是要求a_n的极限，
还是求∑a_n的极限？

farway4

太好了，终于有人回复了。。。。。
可是，题目是要求∑a_n的极限。

可是不用紧，至少代表它们都有可能converge,不是全部diverge.....

还有人会做吗？？
我不要功课零蛋。。。。。

distantstar

(1) converge, 考虑复数，问题迎刃而解。

(2)diverge, 做 asymptotic expansion, 可知道general term是 euivalent to e/2n,所以diverge, 注意：general term是positive的，所以可以用这种方法。

(3)converge, 更简单，原式立刻equivalent to 1/n^3,所以series converges.
要找它的sum,需要做一些变形，然后考虑telescopage series.

mathlim

(3) a_n = Arctan ( 2n / (n^4 + n^2 +2) )

a1 = Arctan 1/2
a2 = Arctan 2/11
a3 = Arctan 3/47
a4 = Arctan 4/137
a5 = Arctan 5/326
...
...

S1 = Arctan 1/2
S2 = Arctan 3/4
S3 = Arctan 6/7
S4 = Arctan 10/11
S5 = Arctan 15/16
...
...
S∞ = Arctan 1 = π/4

注：Arctan a + Arctan b = Arctan [(a+b) / (1-ab)]

mathlim

(1) a_n = x^n cos nt  where x and t are constant in the interval ]-1,1[ and R respectively.

令 z = cost + isint, 1/z = cost - isint
z^n = cosnt + isinnt, 1/z^n = cosnt - isinnt
cosnt = ( z^n + 1/z^n ) / 2
x^n cosnt = [ (xz)^n + (x/z)^n ] / 2
| xz | < 1, | x/z | <1
S∞ = [ xz / ( 1 - xz ) + x/z / ( 1 - x/z ) ]
      = ...
      = ...
      = ( xcost - x&sup2; ) / ( x&sup2; + 1 - 2xcost )

注：多亏distantstar的指点。

JamesTea

有个问题想请教大家，Show that
if
a+b+c>= 3 then a&sup2;+b&sup2;+c&sup2; >= 3




请问我这样做的方法是对的吗？？
(a+b+c) &sup2;= a&sup2;+b&sup2;+c&sup2;+2ab+2bc+2ca >= 9

=>　a&sup2;+b&sup2;+c&sup2; >= 9-2ab-2bc-2ca　--- (1)

Since a&sup2;+b&sup2;+c&sup2; >= ab+bc+ca

=>　2(a&sup2;+b&sup2;+c&sup2;　) >= 2(ab+bc+ca)　--- (2)


(1) + (2):

3(a&sup2;+b&sup2;+c&sup2;　) >= 9
=> a&sup2;+b&sup2;+c&sup2; >= 3

[ 本帖最后由 JamesTea 于 25-1-2009 08:39 PM 编辑 ]

JamesTea

还有两题也想请教大家。

1) show that 9( a&sup3;+b&sup3;+c&sup3; ) >= (a+b+c)&sup3;.

2) if a+b>c , b+c>a, and c+a>b, show that:


1/(a+b-c) +1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)
>= 1/a + 1/b + 1/c

可以的话，想请各位先给我提示，让我做一次给各位看看对或错。。

第二题我尝试做但是大一半就停住了，因为那不到答案，可否帮我看看下　

Given
a+b>c , b+c>a, and c+a>b

=> b>c-a ; c>a-b ; a>b-c

1/(a+b-c) +1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)
<= 1/2a + 1/2b + 1/2c　？？？

[ 本帖最后由 JamesTea 于 25-1-2009 08:40 PM 编辑 ]

mathlim

(a+b+c)&sup3; = a&sup3;+b&sup3;+c&sup3;+2ab+2bc+2ca

上述展开式就已经错了！

(a+b+c)&sup2; = a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 2ab + 2bc + 2ca

(a+b+c)&sup3; = a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; + 3a&sup2;b + 3b&sup2;c + 3c&sup2;a + 3b&sup2;a + 3c&sup2;b + 3a&sup2;c + 6abc

[ 本帖最后由 mathlim 于 25-1-2009 09:53 PM 编辑 ]

JamesTea

原帖由 mathlim 于 25-1-2009 09:20 AM 发表


上述展开式就已经错了！

(a+b+c)&sup2; = a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 2ab + 2bc + 2ca

(a+b+c) &sup3;= a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; + 3a&sup2;b + 3b&sup2;c + 3c&sup2;a + 3b&sup2;a + 3c&sup2;b + ...

对不起，我的问题打错了。。是 square 不是 cubic   抱歉

mathlim

原帖由 JamesTea 于 25-1-2009 02:21 AM 发表
1) show that 9( a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ) ≥ (a+b+c)&sup3;.

这一道题无法得证.
反例:
a = 0, b = 0, c = -1
9( a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ) = -9
(a+b+c)&sup3; = -1

mathlim

原帖由 JamesTea 于 25-1-2009 02:21 AM 发表

Given
a+b>c , b+c>a, and c+a>b

=> b>c-a ; c>a-b ; a>b-c
1/(a+b-c) +1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)

<= 1/2a + 1/2b + 1/2c　？？？

应该是

1/(a+b-c) +1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) > 1/2a + 1/2b + 1/2c

a + b > c
a > c - b
2a > c + a - b > 0
1/(c + a - b) > 1/2a

hamilan911

会有个condition
a,b,c > 0

mathlim

在 ■ 不等式证明题 ■ 证过:
已知 a > 0, b > 0 , c > 0,  则 a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ≥ a&sup2;b + b&sup2;c + c&sup2;a.
同理 a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ≥ b&sup2;a + c&sup2;b + a&sup2;c.

又 a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ≥ 3abc.

∴ 9( a&sup3;+b&sup3;+c&sup3; )
= a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; + 3( a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ) + 3( a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ) + 2( a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; )
≥ a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; + 3(a&sup2;b + b&sup2;c + c&sup2;a) + 3(b&sup2;a + c&sup2;b + a&sup2;c) + 6abc
= a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; + 3(a&sup2;b + b&sup2;c + c&sup2;a + b&sup2;a + c&sup2;b + a&sup2;c) + 6abc
= (a+b+c)&sup3;.

JamesTea

我需要时间消化下。。。等我试试了再回大家。。。

btw，real analysis 真的很难下

JamesTea

a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ≥ a&sup2;b + b&sup2;c + c&sup2;a
a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ≥ b&sup2;a + c&sup2;b + a&sup2;c.
a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; ≥ 3abc

请问这三个已经是定下来了的吗 ？？所以当我做时只需直接拿来 apply 就可以了 ？？

mathlim

第三个算是，前两个不算。
还要看你的老师的接受度。