初等数论讨论中心

dunwan2tellu

再战整数解：

求所有的整数解 x,y 使到

y^2 + 4 = x^5

dunwan2tellu

原帖由 dunwan2tellu 于 6-3-2006 03:28 PM 发表
找出所有x,y,z的自然数解，满足

7^x - 3^y = 4^z

已经找到 z=1 时的解了。

7^x - 3^y = 4

若 y>1 则用 mod 9 得到
7^x == 4 (mod 9)
而 7^3 == 1(mod 9) , 7^2 == 4(mod 9) ==> x = 3x'+2 ....(i)

再用 mod 8 , 得到 (-1)^x - 3^y == 4 (mod 8)
因为 (-1)^x 只可能是 1,-1 所以 3^y == 3,5 (mod 8)
不过经检验 3^y = 1,3 (mod 8) . 所以 3^y = 3 (mod 8)
因此 (-1)^x = -1 (mod 8) ==> x = 奇数 。3^y = 3 (mod 8) ==> y = 奇数...(ii)

从 (i),(ii) , x' 必须是奇数。设 x'=2a+1 则 x = 6a + 5

用 mod 13 得到

7^(6a+5) - 3^y == (11)(-1)^a - 3^y == 4 (mod 13)  ( 因为 7^6 == -1(mod 13))

所以 3^y 只可能是 3^y == 7,11(mod 13)

但是经检验 3^y = 1,3,9 (mod 13) ,不可能得到 7,11 .故无解。

因此 x=y=z=1 是唯一解。

dunwan2tellu

题目：
求所有的自然数 n  , 使到

n 和 n^2 + 2 都是质数。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 18-4-2006 07:25 PM 发表
题目：
求所有的自然数 n  , 使到

n 和 n^2 + 2 都是质数。

显然n是奇数。
若n>3,那 n == 1 或 -1(mod3)
n^2 + 2 == 1 + 2 == 0(mod3)
若n=3,3^2 + 2 = 11 = 质数
所以唯一的解是n=3。

dunwan2tellu

数论题目：整数解

求 正整数 p , q ,使到 1 + 5 . 2^p = q^2

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 6-5-2006 05:33 PM 发表
数论题目：整数解

求 正整数 p , q ,使到 1 + 5 . 2^p = q^2

1+5*2^p=q^2
q的选择是9,11,19,21,29,31,...

2^p=(1/5)*(q+1)(q-1)
q要符合(1/5)*(q+1)=2^a,(q-1)=2^b  ,a+b=p

所以p=4,q=9是唯一的答案.

dunwan2tellu

原帖由 quentin 于 11-5-2006 01:58 AM 发表


1+5*2^p=q^2
q的选择是9,11,19,21,29,31,...

2^p=(1/5)*(q+1)(q-1)
q要符合(1/5)*(q+1)=2^a,(q-1)=2^b  ,a+b=p

所以p=4,q=9是唯一的答案.

答案对。不过解释不清楚。为何 p=4,q=9 会是唯一解？

学数论要从哪里开始啊?

你们都是数学系的?

dunwan2tellu

原帖由 右手 于 11-5-2006 05:04 PM 发表
学数论要从哪里开始啊?

原帖由 yaahoo 于 3-12-2005 10:22 AM 发表
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith.htm

一个很好的数论网页

你们都是数学系的?

不是。 form 6 的



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 11-5-2006 05:47 PM 编辑 ]

多普勒效应

提示 : 1 + 5 . 2^p = q^2 ==> 5(2^p) = (q+1)(q-1)
大概很明显了吧

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 11-5-2006 03:09 PM 发表


答案对。不过解释不清楚。为何 p=4,q=9 会是唯一解？

1+5*2^p=q^2

5*2^p=10,20,40,80,160,...  p=1,2,3,4,5,...
1+5*2^p=11,21,41,81,161,...
注意每一个号码的个位数都是1.
所以q(1)=11,21,31,41,51,...
  和q(9)=9,19,29,39,49,...  **q(1),q(9)只是代号**

2^p=2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...

q(1), 2^p=2^(a+b)
2^p=(1/5)(q-1)*(q+1)
2^a=(q+1)  ,2^a=32,512,8192,... q(1)=31,511,8191,...
当作[q(1)-1]=2^k-2
2^b=(1/5)(q-1)==>2^(k-b)-2^(1-b)=5
b=1,  2^(k-1)=6
k=3.585
所以q(1)没有答案.

q(9), 2^p=2^(c+d)
2^p=(1/5)(q+1)*(q-1)
2^c=(q-1)  ,2^c=8,128,2048,...  q(9)=9,129,2049,...
当作[q(9)+1]=2^k+2
2^d=(1/5)(q+1)==>2^(k-d)+2^(1-d)=5
d=1,  2^(k-1)=4
k=3
q(9)=9,2^p=16,p=4

所以p=4,q=9是唯一的答案.

我还在想着更简单的方法

[ 本帖最后由 quentin 于 11-5-2006 09:00 PM 编辑 ]

quentin

原帖由 dunwan2tellu 于 11-5-2006 05:45 PM 发表
不是。 form 6 的

你是form 6的水准吗?有些你做的方式我在大学才学到

y^2 + 4 = x^5 真的有答案吗?

[ 本帖最后由 quentin 于 11-5-2006 08:58 PM 编辑 ]

hamilan911

原帖由 quentin 于 11-5-2006 08:57 PM 发表


你是form 6的水准吗?有些你做的方式我在大学才学到

y^2 + 4 = x^5 真的有答案吗?

多普勒的提示已经给得很明显了。。
其实数论在中六的further math有学到，当然那些只是基础的。。
Olimpiad standard的题目就比较有挑战性。。

dunwan2tellu

原帖由 quentin 于 11-5-2006 08:57 PM 发表


你是form 6的水准吗?有些你做的方式我在大学才学到

y^2 + 4 = x^5 真的有答案吗?

这题无解。 .想想如何证明。（这题有长篇大论的数论解法，当然也有非常短的解法。）

至于上面的那题，可以从 gcd(q+1,q-1)=2 开始下手,解法就简单许多！（我想多普勒应该是要说这个吧？）

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 12-5-2006 08:46 AM 编辑 ]

多普勒效应

哈哈，dunwan2tellu 说对了
我的方法：
因为 5(2^p)=(q+1)(q-1) 且 gcd(n+1,n-1)=2
所以，我们基本上有四个情况: n+1=2 或 n+1=10 或 n-1=2 或 n-1=10

到这里，大概也做完了。剩下的就是代入吧..

dunwan2tellu

原帖由 多普勒效应 于 12-5-2006 11:10 AM 发表
哈哈，dunwan2tellu 说对了
我的方法：
因为 5(2^p)=(q+1)(q-1) 且 gcd(n+1,n-1)=2
所以，我们基本上有四个情况: n+1=2 或 n+1=10 或 n-1=2 或 n-1=10

到这里，大概也做完了。剩下的就是代入吧..

对了！不愧是多普勒效应。顺便一提，这是 Australia 2006 的 olympiad 题目。

vincent5081

原帖由 quentin 于 11-5-2006 08:57 PM 发表


你是form 6的水准吗?有些你做的方式我在大学才学到

你好，请问你是哪一所大专数学系的学生？我是博大的，以后请多指教！

vincent5081

原帖由 dunwan2tellu 于 12-5-2006 06:52 PM 发表


这是 Australia 2006 的 olympiad 题目。

请问你有收集历年来的 Olympiad Mathematics 的问题吗？可以给我吗？

多普勒效应

原帖由 dunwan2tellu 于 12-5-2006 06:52 PM 发表


对了！不愧是多普勒效应。顺便一提，这是 Australia 2006 的 olympiad 题目。

澳洲？！
你怎么得到的？ 一般上澳洲主办当局是不许公开题目，好让他们可以出书的啊！

hamilan911

原帖由 多普勒效应 于 12-5-2006 07:08 PM 发表


澳洲？！
你怎么得到的？ 一般上澳洲主办当局是不许公开题目，好让他们可以出书的啊！

呵呵，别忘了他混mathlink的，问题里面多的是。。