STPM-学校功课討論区

原帖由 hamilan911 于 21/6/2006 20:20 发表

log_2 (2x-4) = log_2 4 + log_2 (x^2-6)
log_2 (2x-4) = log_2 4(x^2-6)
2x - 4 = 4x^2 - 24
4x^2 -2x - 20 = 0
2x^2 - x - 10 = 0
(2x-5)(x+2) = 0
x=5/2 (-2 is rejected because 2x-4>0)

谢谢你咯！

邵逸夫

我有問題。。。
1) find the value of a for which (sqrt2 +ai)/(1+ sqrt2 i) is real, and thus find this real number.

2) two complex numbers w=a+ib and z= x+iy ,where a,b,x and y are real, are such that w= z / (1+iz),
   show that a= x/x^2 +(y-1)^2 and b= - x^2 +y^2-y/x^2+(y-1)^2

3) w= z-1/z*+1 where z=a+bi . find the conditions under which:
  a) w is real
  b) w is purely imaginary
     [a=0 or (b=0,a is not equal to -1); a^2-b^2 =1 where a is not equal to 0 and b is not equal to 0]

[ 本帖最后由 邵逸夫 于 22-6-2006 07:36 PM 编辑 ]

bomber27

dunwan2tellu

3) w= z-1/z*+1 where z=a+bi . find the conditions under which:
  a) w is real
  b) w is purely imaginary

如果
ｚ＝ａ＋ｂｉ

要ｒｅａｌ　的条件是　ｂ＝０
ｉｍａｇｉｎａｒｙ的条件是　ｂ＝／＝０
ｐｕｒｅ　ｉｍａｇｉｎａｒｙ条件是　ｂ＝／＝０，ａ＝０

上面的题目大致上是用这些来做

首先你必须把他写成　ａ　＋ｂｉ　的格式，之后再用上面的条件

２）应该是　b = - (x^2 + y^2 - y)/[(y-1)^2+x^2] 比较＂正确＂
这题就是比较两边的　ｒｅａｌ　＆　ｉｍａｇｉｎａｒｙ　ｐａｒｔ　。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 22-6-2006 08:26 PM 编辑 ]

邵逸夫

謝謝你~~~~~~
哦~~~還有恭喜你榮升版主~~~~~

~HeBe~_@

恭喜你榮升版主.......

dunwan2tellu

原帖由 ~HeBe~_@ 于 23-6-2006 06:31 PM 发表
恭喜你榮升版主.......

原帖由 邵逸夫 于 23-6-2006 05:52 PM 发表
謝謝你~~~~~~
哦~~~還有恭喜你榮升版主~~~~~

谢谢！

恭喜你咯！升级了！哈哈。。
现在我又个问题
find the square roots of each of the following in the form a+bi
(a) 4i

~HeBe~_@

原帖由 ~ciyun~ 于 24-6-2006 11:02 AM 发表
恭喜你咯！升级了！哈哈。。
现在我又个问题
find the square roots of each of the following in the form a+bi
(a) 4i

       (4i)^(1/2) = a + bi

                   4i = (a + bi)^2

                   4i = a^2   +   2abi   +  (bi)^2          ;where i^2=-1

                   4i = a^2   +   2abi    -   b^2

           0  +  4i =( a^2    -   b^2)   +   2abi

Compare the coefficient of both side,

           a^2    -   b^2 = 0 --------------------- 1

                            4 = 2ab ------------------ 2

Therefore,from equation 2,
               a = 2/b

Substitute a = 2/b into equation 1.

             a^2    -   b^2 = 0
              
        (2/b)^2    -   b^2 = 0

         4/(b^2)   -   b^2 = 0

                    4  -   b^4 = 0

(2  -   b^2)( 2  +   b^2) = 0

      b = 2^(1/2)    or     b = - [2^(1/2)]      or       b = 2i  (Inadmissible because a,b must be real number)

Hence, substitute  b = 2^(1/2)    or     b = - [2^(1/2)] into equation 2,
  
             a = 2/b                                 a = 2/b
               = 2/[2^(1/2)]                        = 2/-[2^(1/2)]
               = 2^(1/2)                   or        = - [2^(1/2)]


Therefore, a = 2^(1/2)  and   b = 2^(1/2)     or      a = - [2^(1/2)]    and    b = - [2^(1/2)].

Haha!

邵逸夫

又有問題了~~~~
given that z1=2+i ,z2=-2+4i,find ,in the form a+bi, the complex number z such that 1/z=1/z1+1/z2.

答案是:6/5 + 8i/5

可是我一直做不到

bomber27

dunwan2tellu

原帖由 ~HeBe~_@ 于 24-6-2006 12:17 PM 发表



       (4i)^(1/2) = a + bi

                   4i = (a + bi)^2

                   4i = a^2   +   2abi   +  (bi)^2          ;where i^2=-1

                   4i = a^2   +   2abi    -   ...

其实当我们写 Sqrt[4i] = a + bi 时，我们已经 assume a,b 是 real number 了。所以不必去找 a,b 的 imaginary root .只需要在一开始就注明 a,b are real number ,这样就可以省掉 reject 的功

原帖由 邵逸夫 于 25-6-2006 10:45 AM 发表
又有問題了~~~~
given that z1=2+i ,z2=-2+4i,find ,in the form a+bi, the complex number z such that 1/z=1/z1+1/z2.

答案是:6/5 + 8i/5

可是我一直做不到

就如 bomber27 做的。通常遇到这类问题，我们都采用“乘上 conjugate pair ”的方法，目的就是使到分母没有 imaginary number ,这么一来题目就会好做得多。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-6-2006 03:56 PM 编辑 ]

~HeBe~_@

原帖由 dunwan2tellu 于 25-6-2006 03:54 PM 发表
其实当我们写 Sqrt = a + bi 时，我们已经 assume a,b 是 real number 了。所以不必去找 a,b 的 imaginary root .只需要在一开始就注明 a,b are real number ,这样就可以省掉 reject 的功

haha!
这个我知道，但我已经惯了用以前老师教我写的格式，这一定要说明在b=2i旁写出为何我们reject它的原因。

及为何不拿它。

如果 z=1+i/2-i find 'z in the form a+bi

dunwan2tellu

z = (1+i)/(2-i)

就如我在 #72 所说的，遇到这类题目，其中一个不得不试的 techique 就是乘上 conjugate pair .其实ｐｕｒｅ　ｍａｔｈ　里的　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｕｍｂｅｒ　所用的技巧也没有几个，而这个技巧最为普遍。 比如 3 + 2i , 你就乘上 3 - 2i . 目的就是把 imaginary part 去掉。

好比你的题目，你可以在分子，分母分别乘上 (2+i) .为何？这么一来，你的分母就可以变成只有 real number .然后你才可以把他们 break 开成 real & imaginary part .

你自己先试试，如果还是想不通再问吧。　

原帖由 dunwan2tellu 于 30/6/2006 16:52 发表
z = (1+i)/(2-i)

就如我在 #72 所说的，遇到这类题目，其中一个不得不试的 techique 就是乘上 conjugate pair .其实ｐｕｒｅ　ｍａｔｈ　里的　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｕｍｂｅｒ　所用的技巧也没有几个，而这个技 ...

是不是这样做

＝1＋i／2-i * 2+i/2+i
= (1+i)(2+i)/(2-i)(2+i)
=2+i+2i+i^2/4+2i-2i-i^2
=2+3i+i^2/4-i^2
=2+3i+i^2/5
=1-3i/5
= 1/5 - 3/5i

还有一些。。。
(a)z= 1-2i, express z+1/z in the form a+bi
(b)given that z=2+3i, express each of the following in the form a+bi
(i)(z-i)(z+1)   
(ii) z/1-z

好我想问 MODULUS ARGUMENT 是怎样的？大约说说！

dunwan2tellu

是不是这样做

＝1＋i／2-i * 2+i/2+i
= (1+i)(2+i)/(2-i)(2+i)
=2+i+2i+i^2/4+2i-2i-i^2
=2+3i+i^2/4-i^2
=2+3i+i^2/5
=1-3i/5
= 1/5 - 3/5i

对！

还有一些。。。
(a)z= 1-2i, express z+1/z in the form a+bi
(b)given that z=2+3i, express each of the following in the form a+bi
(i)(z-i)(z+1)   
(ii) z/1-z

老实说，他们和你之前做的方法没有分别。照这之前的做法一定 OK .

好我想问 MODULUS ARGUMENT 是怎样的？大约说说！

当你学 complex number 时，你有没有看到一个很像 coordinate plane 的东西？那个叫做 Argand Diagram .(基本上和 coordinate 的 system 一样）。

Modulus 就是用来找 complex number 的“magnitude”或长度。

Argument 是那个complex number 和 x-axis 形成的角度。

i.e   z = 1 + 2i

在 Argand diagram 里，z = x + yi .所以你可以 plot 一个 coordinate for z (1,2).

那么 z 的 modulus 是多少？所以你就找从 (1,2) 到 origin(0,0) 的 distance = Sqrt[5]

而我们写的方法是 |z| = Sqrt[5]

Argument z 呢？画一条线连接 (1,2) 和 origin .那么从 x-axis 到那个线的角度就是 argument .如何找？我们可以用 trigonometry 的 tangent

i.e Argument = Arg :  Arg z = Arg (1+2i) = Arctan (2/1) = 63.4 度。

注：if Tan 45 = 1 ==> Arctan 1 = 45 .

可以参考 http://mathworld.wolfram.com/ComplexArgument.html.

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 1-7-2006 06:11 PM 编辑 ]

邵逸夫

有些問題。。
sets的。。
1) for any two sets A and B, simplify ( A n B ) n ( A' n B')
2)
AoB represents the set of elements in the universal set but not in the set A or B
i)draw separate venn diagrams and use shading to illustrate the following areas:
a) A'o B
b) (AoB)oA