初等不等式训练(题目在第1页)

pipi

最近真的是忙透了。。。
也许迟些再上来与大家玩玩！
（忙归忙，倒感觉挺充实的）

blue_yee

对不起， 请问你们在讨论的数学是哪一个阶级的？
我对这个有点兴趣，是想学额外的数学啦。但本人现在只是个在学院修读大学基础班的学生。
学这个会不会太不自量了？

dunwan2tellu

只要有兴趣就可以了。这其实是一些 olympiad standard 的题目。大学如果修读数学系的话应该也有读吧。

dunwan2tellu

趣味不等试

若 a,b,c >0证明

sqrt {a^2-ab+b^2} + sqrt{b^2-bc+c^2} => sqrt{a^2+ac+c^2}

dunwan2tellu

Junior Balkan MO 2002 :

a,b,c 为正实数，试证明

1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/c(c+a)  >= 27/[2(a+b+c)^2]


注：有个很美丽的解，只用AM-GM 和 AM-HM 吧了！

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 5-1-2006 02:38 PM 编辑 ]

kjying

我看不明白....
第二楼的......


右边的是答案吗??

dunwan2tellu

是条件，不是答案 ....比如第一题

当x>0 时，x+1/x >2  ....

kjying

原帖由 dunwan2tellu 于 4-1-2006 10:39 PM 发表
是条件，不是答案 ....比如第一题

当x>0 时，x+1/x >2  ....

x+1/x>2
x+1>2x
x<1

是酱吗??

还有很多符号我看不懂......
那个很像反回来的A是什么....=.=

saddam2006

原帖由 kjying 于 5-1-2006 10:11 PM 发表

x+1/x>2
x+1>2x
x<1

是酱吗??

还有很多符号我看不懂......
那个很像反回来的A是什么....=.=

不是。。。

这问题是要证明不等式。。
只需用AM-GM就可以了

hamilan911

哈哈哈，摆了个大乌龙。。。
saddam2006是我的朋友，我竟然用了他的会员名字来回帖。。。

(x + 1/x)/2 >= [x(1/x)]^(1/2)
x+1/x >= 2

kjying

还是不明白.....=.=

hamilan911

用AM-GM
1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/c(c+a) >= 3 X [1/abc(a+b)(a+c)(b+c)]^(1/3)
用GM-HM
[1/abc]^(1/3) >= 3/(a+b+c)
[1/(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3) >= 3/2*(a+b+c)
得1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/c(c+a) >= 27/2*(a+b+c)^2

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 9-1-2006 04:44 PM 发表
用AM-GM
1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/c(c+a) >= 3 X [1/abc(a+b)(a+c)(b+c)]^(1/3)
用GM-HM
[1/abc]^(1/3) >= 3/(a+b+c)
[1/(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3) >= 3/2*(a+b+c)
得1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/ ...

对了！就是酱！可以试试前几题

对不起,冒然打扰...想请教大家,怎样直接在casio fx-570W 的计算机,解三次方的功式?eg. x^3 + 8x^2 + 20x + 20... 十万火急,望大家能伸出援手,谢谢! 小弟电邮为 no7_alfred@hotmail.com

hamilan911

Mode-EQN-Degree3
ax^3+bx^2+cx+d=0
输入a,b,c,d即可。

我在 FX-570W 的 MODE 里找不到 EQN 的 function... T_T

kjying

原帖由 hamilan911 于 9-1-2006 04:44 PM 发表
用AM-GM
1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/c(c+a) >= 3 X [1/abc(a+b)(a+c)(b+c)]^(1/3)
用GM-HM
[1/abc]^(1/3) >= 3/(a+b+c)
[1/(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3) >= 3/2*(a+b+c)
得1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/ ...

题目是X...
做么有ABC出来的......=.=

hamilan911

原帖由 kjying 于 16-1-2006 10:01 PM 发表

题目是X...
做么有ABC出来的......=.=

我证明的是以下这题
1/a(a+b)  +  1/b(b+c)  + 1/c(c+a)  >= 27/[2(a+b+c)^2]

dunwan2tellu

不难的不等式：

若 m 是正整数，证明

1/(m+1) + 1/(m+2) + 1/(m+3) + ... + 1/[m+(2m+1)] > 1

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 9-2-2006 03:13 PM 发表
不难的不等式：

若 m 是正整数，证明

1/(m+1) + 1/(m+2) + 1/(m+3) + ... + 1/[m+(2m+1)] > 1

i)AM-HM
1/(m+1) + 1/(m+2) + 1/(m+3) + ... + 1/[m+(2m+1)]/(2m+1)
>= (2m+1)/[m+1+m+2+m+3...+m+2m+1]
>= (2m+1)/[(2m+1)m + (2m+1)(2m+2)/2 ]
>= (2m+1)/(2m+1)^2
>= 1/(2m+1)
所以1/(m+1) + 1/(m+2) + 1/(m+3) + ... + 1/[m+(2m+1)] > 1
(equality hold when 1/(m+1) = 1/(m+2),而这情况是不可能的)

ii)用jensen
f(m)= 1/(m+1)      f''(m) = 2/(m+1)^3 > 0
[f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2m+1)]/(2m+1) >= f[(1+2+3+...2m+1)/(2m+1)]
                                    >= f[m+1]
[f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2m+1)] >= (2m+1)f[m+1] = (2m+1)/(2m+1) = 1
所以1/(m+1) + 1/(m+2) + 1/(m+3) + ... + 1/[m+(2m+1)] > 1
(equality hold when 1/(m+1) = 1/(m+2),而这情况是不可能的)

[ 本帖最后由 hamilan911 于 11-2-2006 02:46 PM 编辑 ]