完全平方数

吓！

pipi网友，杀鸡焉用牛刀。难道你有更统一的方法？拭目以待。

sufficient condition---充分条件？
necessary condition---必要条件？

pipi

flyingfish 于 25-5-2004 01:14 AM  说 :


有没有人要试我的题目？
再给提示：
1。和x^2的因数(factor)有关
2。要把x^2+y^2=z^2稍微变变。
3。用到persamaan serentak(联立方程组)。

很神奇的，只用以上中学学到的方法，就能解了。

若 x 为奇数，我们有
(x, (x^2-1)/2, (x^2+1)/2)
对吗？？

pipi

活死人 于 26-5-2004 02:23 PM  说 :
sufficient condition---充分条件？
necessary condition---必要条件？

没错！！

flyingfish

pipi 于 26-5-2004 11:14  说 :
对对对！！！
（跟你玩数学，太爽了！！！）

那如果是
证明：
**********33  （一个有 n (>=2) digits 的数字， 最后2个digits 是 "33" ）
不是完全平方数

你的方法就不能证到了吧 ...

再想想,哈哈,不能让pipi网友奸笑成功..
let **********33 = 100x +33=p

还是用"n(n+1)= (p-1)/4 有整数n的解"这式子.
(p-1)/4=(100x +32)/4=25x+8
所以要检验25x+8= n(n+1)有没有n的解..
没有的话,**********33 = 100x +33=p就不是平方数.

用mod的怪招..两边(mod10)
LHS (mod 10) = (25x+8)(mod 10) = 8 or 3
因为当x=奇数,25x (mod10)=5
当x=偶数,25x (mod10)=0

RHS (mod 10) = n(n+1) (mod 10)
试所有可能:
1x2 (mod10)=2
2x3 (mod10)=6
3x4 (mod10)=2
4x5 (mod10)=0
5x6 (mod10)=0
6x7 (mod10)=2
7x8 (mod10)=6
8x9 (mod10)= 2
9x0 (mod10)=0
RHS (mod 10) = n(n+1) (mod 10)=2,6 or 0
所以25x+8= n(n+1)无n的解...

又多了1个necessary but insufficient condition:
把(p-1)写成100x+y     (y为两位数).
(25x + y/4) (mod10) = 2, 6 or 0

也就是:
当x=奇数, 25x (mod10)=5,
所以条件是y/4 (mod10) =7,1,5
1<=y/4<25
y/4=7,17,1,11,21,5,15
y=28,68,4,44,84,20,60
p的后二位数:29,69,5,45,85,21,61
x为奇数,p= 100x + (29,69,5,45,85,21,61)

当x=偶数, 25x (mod10)=0,
所以条件是y/4 (mod10) =2,6,0
1<=y/4<25
y/4=2,12,22,6,16,0,10,20
y=8,48,88,24,64,0,40,80
p的后二位数:9,49,89,25,65,1,41,81
x为偶数,p= 100x + (9,49,89,25,65,1,41,81)

summary:
假如p为平方数,要符合以下条件:
x为奇数,p= 100x + (29,69,5,45,85,21,61)
x为偶数,p= 100x + (9,49,89,25,65,1,41,81)

flyingfish

活死人 于 26-5-2004 14:23  说 :
吓！

pipi网友，杀鸡焉用牛刀。难道你有更统一的方法？拭目以待。

sufficient condition---充分条件？
necessary condition---必要条件？

谢谢活死人网友指正,
不好意思,不太会译.

flyingfish

pipi 于 26-5-2004 18:19  说 :


若 x 为奇数，我们有
(x, (x^2-1)/2, (x^2+1)/2)
对吗？？

pipi网友对了.
偶数x那题,要不要也解了呢?
有空的话,就顺便把解法也放上来吧,反正解法很短的..

flyingfish

sMIL3 于 26-5-2004 01:53  说 :
看得不是很明白，可以summarize吗？

sMIL3网友,不好意思,我写得太乱了..
那一部分需要summarize?
把式子和例子对照,可能会容易看一点..

flyingfish 于 26-5-2004 10:12 PM  说 :


sMIL3网友,不好意思,我写得太乱了..
那一部分需要summarize?
把式子和例子对照,可能会容易看一点..

不好意思的应该是我！！！我看不明白啦！什么是necessary but insufficient conditions ？什么是floor？你好像是写programming酱，我看不明啦！不好意思！各位仁兄敬请赐教！

pipi

pipi 于 26-5-2004 11:14 AM  说 :
证明：
**********33  （一个有 n (>=2) digits 的数字， 最后2个digits 是 "33" ）
不是完全平方数

飞鱼兄果然是不简单。。。

不过，我昨天驾车回家时，倒是想到我的这个题目。。。有一点问题。。。
er...

其实，容易发现
任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9
所以，得证
**********33  （一个有 n (>=2) digits 的数字， 最后2个digits 是 "33" ）
不是完全平方数

pipi

flyingfish 于 26-5-2004 10:04 PM  说 :
summary:
假如p为平方数,要符合以下条件:
x为奇数,p= 100x + (29,69,5,45,85,21,61)
x为偶数,p= 100x + (9,49,89,25,65,1,41,81)

我大概看了你的证明（现在在忙里偷闲。。。），应该没问题吧。
但是，我找到一个 counter example： 576 。它不符合你设的条件，不过它还是个完全平方数。
WHY??

我知道了。。。
因为 p 是奇数。

所以应该有这样的summary:

假如p为奇完全平方数,要符合以下条件:
x为奇数,p= 100x + (29,69,5,45,85,21,61)
x为偶数,p= 100x + (9,49,89,25,65,1,41,81)

对吗？

[ Last edited by pipi on 27-5-2004 at 01:51 PM ]

flash

pipi 于 27-5-2004 10:18  说 :

其实，容易发现
任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9[/color ...

我第一个想到的解法就是这个。

大家既然对平方数那么有兴趣就试试这题吧。

假如我任意挑选 100 个号码 （0－9）组成一个数字，如果我把有关数字分成两个数字，请问两个数字之中，共有多少组数字是一个数字是另一个数字的平方数？（注：这两个数字都不可以 0 开头）

打个比例：

假如我只挑选 3 个号码，那
164 符合条件 （因 16 是 4 的平方数）
416 符合条件 （因 16 是 4 的平方数）
614 不符合条件 （因 1４ 不是 ６ 的平方数，61 也不是 4 的平方数）
309 不符合条件 （虽然 09 是 3 的平方数，但 9 以 0 开头）

pipi

flyingfish 于 26-5-2004 10:04 PM  说 :
summary:
假如p为奇完全平方数,要符合以下条件:
x为奇数,p= 100x + (29,69,5,45,85,21,61)
x为偶数,p= 100x + (9,49,89,25,65,1,41,81)

p= 100x + (5,45,65,85)   也不行！！
因为这样的话， p = (****5)^2, 那么必定是 p = ********25
请参考
（sinchee， 可爱的5）
http://chinese.cari.com.my/myfor ... ge=1&highlight=

[ Last edited by pipi on 27-5-2004 at 02:03 PM ]

pipi

flash 于 27-5-2004 12:42 PM  说 :
假如我任意挑选 100 个号码 （0－9）组成一个数字，如果我把有关数字分成两个数字，请问两个数字之中，共有多少组数字是一个数字是另一个数字的平方数？（注：这两个数字都不可以 0 开头）

暂时想到一些简单的例子：

p=x^2 *10^m + y^2 * 10^n ，  m,n>=0  (然后考虑 y = x^2)
其中  p 是 100 个 digits 的号码;
(i) 若 x^2 是偶数个digits 的号码，设它为 2*k_1 个，k_1>0。
    则 y^2 是偶数个digits 的号码，设它为 2*k_2 个，k_1>0。
    那我们有 2*(k_1 + k_2) + m + n = 100

(ii) 若 x^2 是奇数个digits 的号码，设它为 2*k_1 - 1 个, k_1>0。
     则 y^2 是奇数个digits 的号码，设它为 2*k_2 - 1 个，k_1>0。
     那我们有 2*(k_1 + k_2) + m + n = 102

[ Last edited by pipi on 27-5-2004 at 04:50 PM ]

flash网友，按照你的分法，

答案是  0.

pipi

pipi 于 27-5-2004 02:14 PM  说 :
暂时想到一些简单的例子：

p=x^2 *10^m + y^2 * 10^n ，  m,n>=0  (然后考虑 y = x^2)
其中  p 是 100 个 digits 的号码;
(i) 若 x^2 是偶数个digits 的号码，设它为 2*k_1 个，k_1&g ...

之前看错一点点资料。。。

我的答案与活死人一样， 也是 0。

一点点解释：
考虑 p = y(x^2) ｛不是很好的写法｝ 是个 100 digits 的号码， 其中 y = x^2。
若 x 是个 u digits 的号码，
那 y 将是个 2u-1 或 2u digits 的号码。
所以我们有 u + 2u - 1 = 100 或 u + 2u = 100。
但它们都没有正整数解。
证毕。

flyingfish

sMIL3 于 26-5-2004 22:48  说 :


不好意思的应该是我！！！我看不明白啦！什么是necessary but insufficient conditions ？什么是floor？你好像是写programming酱，我看不明啦！不好意思！各位仁兄敬请赐教！

necessary but insufficient condition
必要但不充分的条件 (活死人网友的翻译).
necessary but insufficient conditions for X to be true
不符合这条件,X= false
符合这条件,X可以是true,也可以是false.

例子:
6的倍数,可被2整除是"必要但不充分的条件".
所有6的倍数,都能被2整除.(必要)
但所有能被2整除的数,未必都是6的倍数 (不充分).

floor(x)=比x小最大的整数。
floor(1.2)=1,
floor(1)=1
floor(1.9)=1
哈哈,我真的是借用programming的写法的.

解释的不太好,其他网友能更好的解释的话,请帮帮忙..

flyingfish

pipi 于 27-5-2004 10:18  说 :


飞鱼兄果然是不简单。。。

不过，我昨天驾车回家时，倒是想到我的这个题目。。。有一点问题。。。
er...

其实，容易发现
任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9[/color ...

我也看出了个位数只能是0,1,4,5,6,9.但我想pipi网友的******33只是一个例子,我想看看符合8m+1的,该加什么条件限制,才能肯定是不是奇数平方数.

谢谢pipi网友的指正,5,45,85,65也不行..
我比较喜欢这条件:

把(p-1)写成100x+y (y为两位数).
(25x + y/4) (mod10) = 2, 6 or 0

哈哈,也许你还能找到符合这条件,但不是奇数平方数.. 应该有吧..

也有brute force method,但就不好玩了..
个位数限制:
1,2,3...9的平方,也就是0,1,4,5,6,9
后二位数限制:
平方数的后二位数必需属于10,11,12....99的平方的后二位数set.
以此类推...

flyingfish

flyingfish 于 25-5-2004 01:14  说 :


有没有人要试我的题目？
再给提示：
1。和x^2的因数(factor)有关
2。要把x^2+y^2=z^2稍微变变。
3。用到persamaan serentak(联立方程组)。

很神奇的，只用以上中学学到的方法，就能解了。

呜呜,为什么没人玩我出的那题?

先答case1：x为奇数 吧.
x^2+y^2=z^2
x^2=z^2-y^2= (z-y)(z+y)

let x^2=a*b, a & b 是奇数
a=z-y
b=z+y
z=(b+a)/2
y=(b-a)/2

to minimize (z-y), a=1
b=x^2

y=(x^2-1)/2
z=(x^2+1)/2

偶数那题有人要玩吗?

flyingfish 于 27-5-2004 09:58 PM  说 :


floor(x)=比x小最大的整数。
floor(1.2)=1,
floor(1)=1
floor(1.9)=1

这个就是所谓的高氏（Gauss）函数吧！

flyingfish

sMIL3 于 27-5-2004 23:05  说 :


这个就是所谓的高氏（Gauss）函数吧！

哈哈,sMIL3网友,不好意思,我不知道原来floor function有名堂的..
floor function 的解释:
http://mathworld.wolfram.com/FloorFunction.html