经典级数题目

whitelighter

原帖由 dunwan2tellu 于 28-11-2005 07:49 PM 发表
那么有何方法可以先证明S是收敛的呢？

用La' Hopital's Rules应该就可以证明了，那么就可以用infinite series来解，就没有破绽了。

铁蛋

原帖由 hamilan911 于 29-11-2005 03:44 PM 发表
= 1 + 1/2S + 1/3S - 1/6S
酱解释会较清楚吧，其实这就是用到那个set的P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A N B) [\color]  ...

做法是很创意，可是忽略了利用的概念的细节. 你用的公式里每一项都有上界, 而运用于无穷级数，除非先证明那无穷级数有上界（收敛），要不这个证明还有漏洞。请别误会这是鸡蛋里挑骨头，只是想指出其中的不足。

至于要证明 S 是收敛的就必须再想了，或许不容易。

[ 本帖最后由 铁蛋 于 30-11-2005 10:03 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

whitelighter , 请问如何用 L' Hopital Rules 来证明啊 ?

dunwan2tellu

来试试看这题级数，当做是迎接２００６年

1!(1^2+1+1) + 2!(2^2+2+1) + 3!(3^2+3+1)+...+2006!(2006^2+2006+1) = ?

注：Pattern 是 k!(k^2 + k + 1)

kee020041

(K+2)! = (K+2).(K+1)!
       = K.(K+1)! + 2(K+1)!
       = K.(K+1).K! + + 2(K+1)!
       = (K^2 + K).K! + K! - K! + 2(K+1)!
       = (K^2 + K + 1).K! - K! + 2(K+1)!

SO:
(K^2 + K + 1).K! = (K+2)! + K! - 2.(K+1)!



K  = 1 TO 2006;
SUM[(K^2 + K + 1).K!]  = SUM[(K+2)! + K! - 2.(K+1)!]
                       = 3! + 1! - 2 x 2!           k = 1
                       + 4! + 2! - 2 x 3!           k = 2
                       + 5! + 3! - 2 x 4!           k = 3
                               .
                               .
                               .
                               .
                               .
                              
                       + 2008! + 2006! - 2 x 2007!           k = 2006
                     
                    = 1! - 2! + 2008! - 2007!

dunwan2tellu

你也可以继续简化得到

(k+2)!+k!-2(k+1)! = [(k+2)!-(k+1)!] - [(k+1)!-k!]
=(k+1)(k+1)! - k.k!

所以sum = 2007.2007! - 1

kee020041

SUM[(K^2 + K + 1).K!]   = 1! - 2! + 2008! - 2007!
                        = 1 - 2 + 2008x2007！-2007！
                        = 2007 x 2007！ - 1

[(K+2)! + K! - 2.(K+1)!] = [(K+2)! - (K+1)! ] - [(K+1)! -k!]
我怎么没想到！！！哈哈。

dunwan2tellu

好吧，来一题较有挑战性的！

hamilan911

E(k=1, infinity)6^k / (3^k - 2^k)(3^(k+1) - 2^(k+1))
= E(k=1, infinity) [3^k / (3^k - 2^k)] - [3^(k+1)/ (3^(k+1) - 2^(k+1))]
= 3/(3-2) - 9/(9-4) + 9/(9-4) - 27/(27-8) +27/(27-8) ...... 3^(inf+1)/(3^(inf+1)-2^(inf+1))
= 3 - 3^(inf+1)/(3^(inf+1)-2^(inf+1))
= 3 - 1  (  3^(inf+1)/(3^(inf+1)-2^(inf+1)) = 1/(1 - (2/3)^(inf+1)) = 1)
= 2

dunwan2tellu

对了，其实还有另个解，用

6^k/(3^k-2^k)(3^k+1-2^k+1)
1/6{(3^k - 2^k)/(3^(k+1)-2^(k+1)) - (3^(k-1)-2^(k-1))/(3^k-2^k)}

dunwan2tellu

平均数题目：

有101个整数，1到101。 你把他们分成两组A,B。A有m个数目，B有101- m 个数目。若40这数目从其中一组搬去另外一组，则A,B 的新平均数都比原来的大1/2。 请问 m 是多少？

dunwan2tellu

又一个 Method Of Differences 的题目



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-1-2006 08:03 PM 编辑 ]

hamilan911

1/[(n+1)sqrt{n} + n(sqrt{n+1})]
= (n+1-n)/sqrt{n}sqrt{n+1}(sqrt{n}+sqrt{n+1})
= (sqrt{n+1}+sqrt{n})(sqrt{n+1}-sqrt{n})/sqrt{n}sqrt{n+1}(sqrt{n}+sqrt{n+1})
= (sqrt{n+1}-sqrt{n})/sqrt{n}sqrt{n+1}
= 1/sqrt{n} - 1/sqrt{n+1}

所以 E(n=1,inf) 1/[(n+1)sqrt{n} + n(sqrt{n+1})]
= 1/sqrt1 - 1/sqrt2 + 1/sqrt2 - 1/sqrt3 ......1/sqrt{n} - 1/sqrt{n+1}
= 1 - 1/sqrt{n+1}
= 1  (lim n->inf [1/sqrt{n+1}] = 0)

dunwan2tellu

设 a_k = (k^3-1)/(k^3+1)

那么
(i) S_n = (a_2)(a_3)(a_4)....(a_n) = ?
(ii) n->无限 S = ?

dunwan2tellu

这题比较难一点....

设 x_1 = 1 , x^2_{n+1}=(x_n)(x_n + 1)(x_n + 2)(x_n + 3)+1

求 1/(x_1 + 2) + 1/(x_2 + 2) + 1/(x_3 + 2) + ....

*提示：设 z_n = x_n + 1 ,然后证明 1/(z_k + 1) = 1/(z_k)  - 1/(z_{k+1})

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 6-2-2006 06:45 PM 发表
设 a_k = (k^3-1)/(k^3+1)

那么
(i) S_n = (a_2)(a_3)(a_4)....(a_n) = ?
(ii) n->无限 S = ?

a_k = (k^3-1)/(k^3+1)
    = (k-1)(k^2+k+1)/(k+1)(k^2-k+1)

(i)(a_k)(a_k+1)(a_k+2)=(k-1)(k^2+k+1)/(k+1)(k^2-k+1) X (k+1-1)((k+1)^2+(k+1)+1)/(k+1+1)((k+1)^2-(k+1)+1) X (k+2-1)((k+2)^2+(k+2)+1)/(k+2+1)((k+2)^2-(k+2)+1)
                      =(k-1)(k^2+k+1)/(k+1)(k^2-k+1) X (k)(k^2+3k+3)/(k+2)(k^2+k+1) X (k+1)(k^2+5k+7)/(k+3)(k^2+3k+3)
                      =(k-1)(k)((k+2)(k+3)+1)/(k+2)(k+3)(k^2-k+1)

S_n = (2-1)(2)(n(n+1)+1)/n(n+1)(2^2-2+1)
    = 2(n(n+1)+1)/3n(n+1)

(ii)S(n-->inf) = (2n^2+2n+2)/(3n^2+3n)
               = 2/3

hamilan911

x^2_{n+1}=(x_n)(x_n + 1)(x_n + 2)(x_n + 3)+1
设x_n = a
x^2_{n+1}=a(a + 1)(a + 2)(a + 3)+1
          =a^4+6a^3+11a^2+6a+1
x_{n+1} = sqrt{a^4+6a^3+11a^2+6a+1}
         = a^2+3a+1
         = (a+1)(a+2)-1

设 z_n = x_n + 1
1/(z_k + 1) = 1/[(x_k + 1) + 1]
            = 1/(x_k + 2)
            = (x_k + 1)/(x_k + 1)(x_k + 2)
            = (x_k + 2 - 1)/(x_k + 1)(x_k + 2)
            = 1/(x_k + 1) - 1/(x_k + 1)(x_k + 2) - 1 + 1
            = 1/z_k - 1/z_{k+1}
1/(x_1 + 2) + 1/(x_2 + 2) + 1/(x_3 + 2) + ....
= 1/(z_1 + 1) + 1/(z_2 + 1) + 1/(z_3 + 1) + ....
= 1/z_1 - 1/z_2 + 1/z_2 - 1/z_3 + 1/z_3 - 1/z_4 + ....
= 1/z_1
= 1/(x_1 + 1)
= 1/2

[ 本帖最后由 hamilan911 于 10-2-2006 09:32 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

hamilan911 , 建议你下次用mathtype 打solution 吧！如果没有看漏的话，应该是对了。

dunwan2tellu

反三角函数级数题：
证明 arctan (1/(2k^2)) = arctan (2k+1) - arctan(2k-1) ，之后

求 sum_{k=1 to 无限} arctan(1/(2k^2)) = ？

dunwan2tellu

怎么没人来做．．．

我顶！