~<#<Trigonometry>#>~

dunwan2tellu

原帖由 晨天 于 17-7-2006 03:09 PM 发表
tan x - kot x = kosek x(3-4sek x)
有谁可以做出来吗
包括jalan kerja

答案绝对不是 0＇ 和 360＇

s = sin x , c = cos x

用 tan x=s/c , cot x = c/s , cosec x = 1/s , sec x=1/c 所以

s/c - c/s = 1/s (3-4/c) = (3c-4)/(sc)

=> (s^2-c^2)/sc = (3c-4)/(sc)

因为 s^2 + c^2 = 1 所以 s^2 = 1 - c^2

=> (1-2c^2)/sc = (3c-4)/sc
=> (1-2c^2)/sc - (3c-4)/sc = 0
=> (5 -2c^2 -3c)/sc = 0
=> (2c+5)(1-c)/sc = 0

=> 2c+5 = 0 OR 1-c = 0 但是必须记住 sc =/= 0　也就是说 sin x,cos x=/=0　。。。（ｉ）

=> c = 1  ( c=-5/2　不可能。因为 -1=< cos x=< 1)

cos x = 1 --> x = 2k * Pi , where k = integer

不过因为当 x =2k * Pi 时，sin x = 0 《－－》和　（ｉ）由冲突，所以此题无解！

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 17-7-2006 04:18 PM 编辑 ]

晨天

原帖由 dunwan2tellu 于 17-7-2006 04:16 PM 发表


s = sin x , c = cos x

用 tan x=s/c , cot x = c/s , cosec x = 1/s , sec x=1/c 所以

s/c - c/s = 1/s (3-4/c) = (3c-4)/(sc)

=> (s^2-c^2)/sc = (3c-4)/(sc)

因为 s^2 + c^2 = 1 所以 s^2  ...

我也是觉得问题怪怪的
但书给的答案是 60＇和300＇

dunwan2tellu

原帖由 晨天 于 17-7-2006 04:26 PM 发表


我也是觉得问题怪怪的
但书给的答案是 60＇和300＇

很明显，只要你把答案带入，就会知道他给的答案有误。

类似的题目我以前曾经想过。比如

sec x = tan x

和

cosec x = cot x

都是无解

晨天

原帖由 dunwan2tellu 于 17-7-2006 04:33 PM
cos x = 1 --> x = 2k * Pi , where k = integer

什么是Pi

dunwan2tellu

原帖由 晨天 于 17-7-2006 04:42 PM 发表


什么是Pi

pi = 3.141592 ....

kelvin_ng

学校才刚教完这课，好难哦！！

kenny56

cos36-cos72
=sin54-sin18
=3sin18-4sin^3(18)-sin18
=2sin18(1-2sin^2(18)
=2sin18cos36=k
2sin18cos18cos36=kcos18
sin36cos36=kcos18
0.5(sin72)=ksin72
k=0.5

mathlim

x = 1.08°= 3π/500

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + … … + sin9999x
= sinx + sin2x + sin3x + sin4x + … … + sin9999x + sin10000x – sin10000x
= sin(3π/500) + sin2(3π/500) + sin3(3π/500) + … … + sin1000(3π/500)
+ sin1001(3π/500) + sin1002(3π/500) + sin1003(3π/500) + … … + sin2000(3π/500)
+
…
…
+ sin9001(3π/500) + sin9002(3π/500) + sin9003(3π/500) + … … + sin10000(3π/500)
- sin10000(3π/500)
= 10 [ sin(3π/500) + sin2(3π/500) + sin3(3π/500) + … … + sin1000(3π/500) ] – 0
= 10×0
= 0

其中
sin(3π/500) + sin501(3π/500)] = sin(3π/500) + sin[3π+(3π/500)]
= sin(3π/500) – sin(3π/500) = 0

sin2(3π/500) + sin502(3π/500) = sin2(3π/500) + sin[3π+2(3π/500)]
= sin2(3π/500) – sin2(3π/500) = 0
…
…
sin499(3π/500) + sin999(3π/500) = sin499(3π/500) + sin[3π+499(3π/500)]
= sin499(3π/500) – sin499(3π/500) = 0

sin500(3π/500) + sin1000(3π/500) = 0 + 0 = 0


这里好乱哦！
旧的题目还没解决，新的题目又来了！

kenny56

试试看你能用几种方法来证明下面的题目

设 x = 2pi/(2n +1) , n=自然数。证明

cos x + cos 2x + ... + cos nx = -1/2

当n是偶数，2n+1一定=奇数
当n是奇数，2n+1一定=奇数
不过当n是偶数，一定有偶数次项。（x+y)/(a-b-c-d)。奇数则反之。

[2sin(x/2)cosx+2sin(x/2)cos2x+......+2sin(x/2)cos(nx)]/[2sin(x/2)]
=<sin(3x/2)-sin(x/2)+sin(5x/2)-sin(3x/2)....+sin[(x+2nx)/2]+sin[(x-2nx)/2]> /[2sin(x/2) ]            
=<sin[(x+2nx)/2]-sin(x/2)>/[2sin(x/2)]
=-[sin(x/2)]/[2sin(x/2)]
-1/2

注：sin[(x-2nx)/2]已和最后第四项互相抵消
当n是偶数或寄数，sin[(x+2nx)/2]一定=sin180=0

kenny56

原帖由 dunwan2tellu 于 31-10-2005 05:54 PM 发表
三角形的题目 :

1)若 cosAcosB + sinAsinBsinC = 1 , 那么这会是个什么三角形呢?
2)若 tan(A-B)+tan(B-c)+tan(C-A)=0 , 那这又会是什么三角形?

1.有两个45度角的直角三角形
2.等边三角形 题目也可改成 sin(A-B)+sin(B-C)+sin(C-A)=0

dunwan2tellu

原帖由 kenny56 于 30-8-2007 06:40 PM 发表
cos36-cos72
=sin54-sin18
=3sin18-4sin^3(18)-sin18
=2sin18(1-2sin^2(18)
=2sin18cos36=k
2sin18cos18cos36=kcos18
sin36cos36=kcos18
0.5(sin72)=ksin72
k=0.5

这里运用了 sin 3x = 3sin x - 4sin^3 x . 如果不要用这个 identity 也可以做得到

原帖由 mathlim 于 1-9-2007 07:18 AM 发表
x = 1.08°= 3π/500

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + … … + sin9999x
= sinx + sin2x + sin3x + sin4x + … … + sin9999x + sin10000x – sin10000x
= sin(3π/500) + sin2(3π/500) + sin3(3π/500)  ...

对了。也可以用

S = sinx + sin2x + sin3x + sin4x + … … + sin nx

  = [sin{(n+1)x/2} * sin(nx/2)]/sin(x/2)

注意到 sin 500x = 0 ==> S = 0

当n是偶数，2n+1一定=奇数
当n是奇数，2n+1一定=奇数
不过当n是偶数，一定有偶数次项。（x+y)/(a-b-c-d)。奇数则反之。

[2sin(x/2)cosx+2sin(x/2)cos2x+......+2sin(x/2)cos(nx)]/[2sin(x/2)]
=<sin(3x/2)-sin(x/2)+sin(5x/2)-sin(3x/2)....+sin[(x+2nx)/2]+sin[(x-2nx)/2]> /[2sin(x/2) ]            
=<sin[(x+2nx)/2]-sin(x/2)>/[2sin(x/2)]
=-[sin(x/2)]/[2sin(x/2)]
-1/2

注：sin[(x-2nx)/2]已和最后第四项互相抵消
当n是偶数或寄数，sin[(x+2nx)/2]一定=sin180=0

对了。如果你学了 complex number 里的 root of unity 的话，可以用它来证明。

原帖由 kenny56 于 1-9-2007 04:22 PM 发表


1.有两个45度角的直角三角形
2.等边三角形 题目也可改成 sin(A-B)+sin(B-C)+sin(C-A)=0

答案对。不知方法又如何？

如果题目改成 sin(A-B)+sin(B-C)+sin(C-A)=0 的话。

A = B = 80 , C = 20 也符合，不过他不是等边。但是能证明它是等腰。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 1-9-2007 06:56 PM 编辑 ]

kenny56

对了。也可以用

S = sinx + sin2x + sin3x + sin4x + … … + sin nx

  = [sin{(n+1)x/2} * sin(nx/2)]/sin(x/2)

注意到 sin 500x = 0 ==> S = 0

都是用了sinx+sin2x+...+sinnx
        cosx+cos2x+....+cosnx
乘2sinx/2来解，这招是我上某中国网时看到的。

答案对。不知方法又如何？

如果题目改成 sin(A-B)+sin(B-C)+sin(C-A)=0 的话。

A = B = 80 , C = 20 也符合，不过他不是等边。但是能证明它是等腰。

哈哈，突然没想到。以为sin(60-60)=0 所以0+0+0=0 至于解法呢，是小弟无意中发现到答案的，过后又尝试证明，但证明不到。请dunwan2tellu哥给提示。

小弟今年高一，数学水准很一般，其后又请dunwan2tellu哥及其他大大多多照护及指点。

[ 本帖最后由 kenny56 于 1-9-2007 08:06 PM 编辑 ]

mathlim

原帖由 dunwan2tellu 于 31-10-2005 05:54 PM 发表
三角形的题目 :
2)若 tan(A-B)+tan(B-c)+tan(C-A)=0 , 那这又会是什么三角形?

(A-B) + (B-C) + (C-A) = 0
(A-B) + (B-C) = -(C-A)
[tan(A-B) + tan(B-C)]/[1 - tan(A-B)tan(B-C)] = -tan(C-A)
tan(A-B) + tan(B-C) =  -tan(C-A) + tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)
tan(A-B) + tan(B-C) + tan(C-A) = tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)
tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A) = 0
tan(A-B) = 0 或 tan(B-C) = 0 或 tan(C-A) = 0
0 < A，B，C < 180°
-180°< A-B，B-C，C-A < 180°
A-B = 0 或 B-C = 0 或 C-A = 0
即A=B 或 B=C 或 C=A。
∴ △ABC是等腰三角形。

注：这一道题的解题技巧与以下两道题雷同。
1）若A+B+C=180°，证明：tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC
2）若A+B+C=180°，证明：tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2) = 1

dunwan2tellu

首先非常欢迎 mathlim 和 kenny56 来到逻辑数学的大家庭。

没想到 mathlim 是老师

原帖由 mathlim 于 1-9-2007 09:42 PM 发表


(A-B) + (B-C) + (C-A) = 0
(A-B) + (B-C) = -(C-A)
[tan(A-B) + tan(B-C)]/[1 - tan(A-B)tan(B-C)] = -tan(C-A)
tan(A-B) + tan(B-C) =  -tan(C-A) + tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A)
tan(A-B) + tan(B-C) + ...

更 general 的是

若 A + B + C = k * pi , k = 整数 ===> tan A + tan B + tan C = tan A * tan B * tan C

注意：这个 formula 里，A,B,C 不一定要是三角形的内角

原帖由 kenny56 于 1-9-2007 08:05 PM 发表


都是用了sinx+sin2x+...+sinnx
        cosx+cos2x+....+cosnx
乘2sinx/2来解，这招是我上某中国网时看到的。



哈哈，突然没想到。以为sin(60-60)=0 所以0+0+0=0 至于解法呢，是小弟无意中发现到答 ...

1)若 cosAcosB + sinAsinBsinC = 1 , 那么这会是个什么三角形呢?

可以用 sin C =< 1 来想

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 1-9-2007 11:05 PM 编辑 ]

mathlim

1)若 cosAcosB + sinAsinBsinC = 1 , 那么这会是个什么三角形呢?

cosAcosB + sinAsinBsinC = 1
sinC ≤ 1
cosAcosB + sinAsinBsinC ≤ cosAcosB + sinAsinB = cos(A-B)
1 ≤ cos(A-B)
cos(A-B) = 1
A-B = 0
A = B
cos&sup2;A + sin&sup2;AsinC = 1
sin&sup2;AsinC = 1 - cos&sup2;A = sin&sup2;A
sinA ≠ 0，sinC = 1
C = 90°，A = B = 45°
∴△ABC是等腰直角三角形。

mathlim

问：若 sinAsinB + cosAcosBcosC = 1，△ABC是什么三角形？

dunwan2tellu

mathlim , 你的做法还可以更简短

因为 sinC =< 1 所以得到 cos(A-B) >= 1
又因为 cos(A-B) =< 1 所以 cos(A-B) = 1
这里等号成立仅当 sin C = 1 也就是 C = 90
所以不难得到 A = B = 45

原帖由 mathlim 于 2-9-2007 10:34 AM 发表
问：若 sinAsinB + cosAcosBcosC = 1，△ABC是什么三角形？

不可能是一个三角形 （因为角度是 90,90,0 的三角形）

1 = sinAsinB - cosAcosBcos(A+B)

2 = cos(A-B) - cos(A+B) - cos(A+B) * [ cos(A+B) + cos(A-B) ]

设 cos(A-B) = y , cos(A+B) = x 可得到

x^2 + x(y+1) + (2-y) = 0

如果 x 有实根，那么判别式 >= 0

因此 y^2 + 6y - 7 >= 0   <==> (y-1)(y+7) >=0

==> y >= 1 ==> cos(A-B) = 1  和 x = -1
==> A = B = 90

==> C = 0

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 2-9-2007 01:47 PM 编辑 ]

kenny56

cosAcosB + sinAsinBsinC ≤ cosAcosB + sinAsinB = cos(A-B).....

因为 sinC =< 1 所以得到 cos(A-B) >= 1......

原来方法就这么简单，我之前还用了三角恒等式方法来改那个式子。

cot70+4cos70=?  

cot70+4cos70
=cos70/sin70+4cos70sin70/sin70
=(1/2cos10+√3/2sin10+2sin140)/sin70
=(1/2cos10+√3/2sin10+2sin40)/(√3/2cos10+1/2sin10)
=(1/2cos10+√3/2sin10+cos10+√3sin10)/((√3/2cos10+1/2sin10)
=1/2(3cos10+√3sin10)/1/2(√3cos10+sin10)
=√3(√3cos10+sin10)/(√3cos10+sin10)
=√3

最近上了三角后，就喜欢上了它。 觉得它比代数更好玩，也觉得它比较容易 两年后的统考就是考这些了，当然还有一些solve equation的题目。这些题目视什么程度的，感觉比独中统考的一般题目还要难一些。

[ 本帖最后由 kenny56 于 2-9-2007 03:11 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 kenny56 于 2-9-2007 03:05 PM 发表




原来方法就这么简单，我之前还用了三角恒等式方法来改那个式子。



cot70+4cos70
=cos70/sin70+4cos70sin70/sin70
=(1/2cos10+√3/2sin10+2sin140)/sin70
=(1/2cos10+√3/2sin10+2sin40)/(√3/ ...

很特别的解法

我的方法是

cos 70/sin 70 + 4cos 70 sin 70/sin 70

= [ cos 70 + 2sin 140]/sin 70
= [ sin 20 + sin 40 + sin 40]/sin 70
= [ cos 10 + sin 40 ]/sin 70
= [ sin 80 + sin 40 ]/sin 70
= [ 2sin 60 * cos 20 ]/sin 70
= sqrt[3]

主要的技巧是不断运用“化和为积” 和 sin x = cos (90 - x)

这些题目可以算是“半个”竞赛题吧？ 所以比起统考题就会有一些挑战性

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 2-9-2007 05:55 PM 编辑 ]

mathlim

原帖由 dunwan2tellu 于 2-9-2007 01:45 PM 发表
mathlim , 你的做法还可以更简短

因为 sinC =< 1 所以得到 cos(A-B) >= 1
又因为 cos(A-B) =< 1 所以 cos(A-B) = 1
这里等号成立仅当 sin C = 1 也就是 C = 90
所以不难得到 A = B = 45...

你说得没错，
可是你没有说明理由。
在大学的时候，
这样的证明，
老师一分都不给！