初等数论讨论中心

dunwan2tellu

可以试试去math world 学

http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html

梵谷

原帖由 dunwan2tellu 于 31-8-2005 02:40 AM 发表
可以试试去math world 学

http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html

多谢了。

英文是叫做modulor arimethic吗？
嗯，在mathworld的那一个部分，我找不到。


[ 本帖最后由 梵谷 于 1-9-2005 09:32 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

我想你要的是关于congruence 的吧

试试这个

http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html

dunwan2tellu

有谁有兴趣数论(Number Theory)的来试试吧！

数论题目(质数)：

(i)
若p,q 都是 >= 5的质数(prime number) , 那么是否
(p-1)(p+1)(q-1)(q+1) 一定能够被 576 整除呢?


(ii)
若 n 是正整数，其特征是 n-1 , n+1 都是质数，那么
n^2*( n^2 + 16 ) 是否一定能被 720 整除 ?

yaahoo

http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith.htm

一个很好的数论网页

hamilan911

(i)
若p,q 都是 >= 5的质数(prime number)
那么p,q = 1或-1 (mod 4)    p,q = 1或-1 (mod 6)   
所以p^2 - 1 = 0 (mod 4)    p^2 - 1 = 0 (mod 6)
    q^2 - 1 = 0 (mod 4)    q^2 - 1 = 0 (mod 6)
得 p^2 - 1 = 0 (mod 24)    q^2 - 1 = 0 (mod 24)
所以(p-1)(p+1)(q-1)(q+1) = 0 (mod 576)

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 24-7-2005 05:44 PM 发表
看来数论的却比较困难吧？不要紧，先来些warm-up 吧！

若a,b＞１是正整数，请问

a^4 + 4b^2 有没有可能是质数(prime number)?
提示：prime number 的因子(factor)除了本身之外就是1,所以如果一个数可以写 ...

题目好像出错了，应该是a^4 + 4b^4吧？？

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 3-12-2005 11:23 AM 发表
(i)
若p,q 都是 >= 5的质数(prime number)
那么p,q = 1或-1 (mod 4)    p,q = 1或-1 (mod 6)   
所以p^2 - 1 = 0 (mod 4)    p^2 - 1 = 0 (mod 6)
    q^2 - 1 = 0 (mod 4)    q^2 - 1 = 0 (mod 6)
得  ...

若你这样做的话，应该是 p^2 - 1 = 0 (mod 12) . 因为 lcm(4,6)=12 .所以最后只得到他们能被 12^2=144 整除。

至于那题，我打错了，是 a^4 + 4b^4 才对.

dunwan2tellu

原帖由 yaahoo 于 3-12-2005 10:22 AM 发表
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith.htm

一个很好的数论网页

哇！不错！不错！谢谢你！

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 3-12-2005 11:38 AM 发表


若你这样做的话，应该是 p^2 - 1 = 0 (mod 12) . 因为 lcm(4,6)=12 .所以最后只得到他们能被 12^2=144 整除。

至于那题，我打错了，是 a^4 + 4b^4 才对.

谢谢提醒，那题不该这样做的。。。
若p,q 都是 >= 5的质数
那么p,q = 1(mod 2)---(i)      p,q = 1或-1(mod 3)---(ii)
从(i)可得
p,q = -3或-1或1或3(mod 8)---(iii)
从(ii)得
p^2 = 1(mod 3)          q^2 = 1(mod 3)    }
p^2 - 1 = 0(mod 3)      q^2 - 1 = 0(mod 3)}---(iv)   
从(iii)得
p^2 = 9 = 1(mod8)       q^2 = 9 = 1(mod 8)}
p^2 - 1 = 0(mod 8)      q^2 - 1 = 0(mod 8)}---(v)
从(iv)和(v)得
p^2 - 1 = 0(mod 24)     q^2 - 1 = 0(mod 24)
所以(p-1)(p+1)(q-1)(q+1) = 0 (mod 576)

dunwan2tellu

对了！hamilan911 . 那些对mod 不熟的人也可以用分析的方法。


(i)
因为 p 是prime , 所以必定p-1 或p+1 是3的倍数。（为什么？因为连续的３个整数，一定会有一个是３的倍数。Example : p-1,p,p+1中其中一个是3 的倍数。但是 p 是prime 了，所以不可能是它，只有p-1 或 p+1 是。） [结论: (p-1)(p+1)被３整除］

(ii)
再来 ，p 是prime 而且>=5 表示 p是奇数。那么它的前后一个号码一定是２的倍数。所以p-1 和p+1 都是2的倍数。[结论: (p-1)(p+1)被４整除］

不过我们也知道，连续４个number可以写成 4k , 4k+1 , 4k+2 , 4k+3 . Ok , 那么 p 只可能是 4k+1 或4k+3 (4k+2 和4k 都可以被２除，所以不会是 prime ).但 p 是 4k+1或 4k+3 时，其中一个p-1或p+1 一定是 4k .这就表示除了上面的case告诉你p-1,p+1可以被２除，他们其中一个其实是能被４除的！[[结论: 跟上面的结论combine 得到结论 (p-1)(p+1)被8整除］

总结，(p-1)(p+1)可以被 3 x 8 = 24 整除。同样(q-1)(q+1)也是。那么(p-1)(p+1)(q-1)(q+1)可以被24^2 = 576 整除。

试试其他题目吧！

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 22-7-2005 07:27 PM 发表


怎么没人做呢？好吧就提示一下！虽然号码看起来很大但当你把digit 都加起来时，digit就会不断减少。你可以假设它digit加起来最大是多少后，又用剩下的digit再加。还有一点很重要的是，若想知道一个数被９除后 ...

谢谢提示。。。

4444^4444 = (-2)^4444 (mod 9)
          = ((-2)^3)^1481 . (-2) (mod 9)
          = 1^1481 . 7(mod 9)
          = 7(mod 9)
所以答案是7.

dunwan2tellu

其实不是酱罢了。因为可能是16,25 ...

4444^4444 < 10^(4*4444)=10^17776

从而得知 4444^4444 最大也不过是 999...999 ( 17776 个“9”）

而999...999 这号码的digit的和最大是 9x17776 = 159984

然后 159984 的digit的和最大也不过是 1 +5+4x9 = 42

之后，剩下的两位数的和最大也不过是 4 + 9 = 13

所以才可以定论是 7

kjying

原帖由 多普勒效应 于 8-7-2005 11:47 PM 发表
小弟对数论有兴趣。
效仿 pipi老师开个讨论区

以下都是整除性质的题目

1. 简介:F_n = 2^2^n +1 是著名的 fermat 数。费马曾经认为 F_n 都是质数。
然而 F_5 = 2^2^5 +1 却被欧拉(euler)证明得是合数。 ...

什么叫完全平方数.....=.=

hamilan911

原帖由 kjying 于 16-1-2006 10:10 PM 发表

什么叫完全平方数.....=.=

square number,如2^2,3^2,4^2,也既是4，9，16。。。

hamilan911

１。费马数
2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1
5 X 2^7 =－1 （mod 641)
625 X 2^28 = 1(mod 641)
-16(2^28)  = 1(mod 641)
得2^32 + 1 = 0(mod 641)

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 17-1-2006 04:43 PM 发表
１。费马数
2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1
5 X 2^7 =－1 （mod 641)
625 X 2^28 = 1(mod 641)
-16(2^28)  = 1(mod 641)
得2^32 + 1 = 0(mod 641)

哈哈。CMC的练习题........(你应该知道我讲谁）

dunwan2tellu

容易数论题目：

任意选 2007 个正整数。证明其中必有两个数，它们之间的差是 2006 的倍数。

dunwan2tellu

题目：组合数论

对于所有的正整数，若号码从左到右一直在增加，我们就称他为“幸运数”。请问在正整数集合里总共有几个“幸运数”呢？Ex：２３８９是幸运数。３２８９不是。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 6-2-2006 06:29 PM 发表
容易数论题目：

任意选 2007 个正整数。证明其中必有两个数，它们之间的差是 2006 的倍数。

设其中一个数a_1 = 1(mod2006)
要避免它们之间的差是 2006 的倍数，其他的正整数就必须使a_2=2(mod2006)或a_3=1000(mod2006)等等。。。
相同的，就会出现2006个正整数分别=1(mod2006),=2(mod2006),...,=0(mod2006)
第2007个正整数必定=1或2或3或...2005或0(mod2006)
所以必有两个数的差会是2006的倍数。