■ 统考题 ■

mathlim

是的！

MaoMao92

原帖由 mathlim 于 11-9-2008 09:40 AM 发表
我的做法：

1）
α = β = π/6
cos²α + cos²β 有最大值 3/2。

α = 2π/3, β = -π/3
cos²α + cos²β 有最小值 1/2。

2）
| 2×2 - 1 + 4 | : | 2×(-1) - 5 + 4 | = 7 : 3

α = β = π/6 你怎样证明 α = β？

mathlim

在13#已经有提到这样的概念。
当 α = m,  β = n 与 α = n, β = m 的时候，
cos²α + cos²β 的值相同，
所以极值出现在当 α = β 的时候。

mathlim

计算行列式：

| b+c■a+c■a+b |
| b+c■c+a■b+a |
| c+b■c+a■a+b |


这是统考的一道选择题，我忘了有什么选项。
那么下列选项，你会选哪一个呢？

① a + b + c
② 2( a + b + c )
③ 4( a + b + c )
④ ab + bc + ca
⑤ 2( ab + bc + ca )
⑥ a² + b² + c²
⑦ ( a + b + c )²
⑧ ( a + b + c )( a² + b² + c² )
⑨ a³ + b³ + c³
⑩ a³ + b³ + c³ + 3abc
⑾ a²b + b²c + c²a
⑿ a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca²
⒀ abc
⒁ 2abc
⒂ 4abc

DADDY_MUMMY

白白的字有没有算进去???
有的话，就是0。

mathlim

不算！我只是为了让那个行列式排列整齐。

mrbintulu

请问是a math 吗？

mathlim

'a' for apple?

Ivanlsy

SPM的Add.Maths课程里没有行列式。

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 21-10-2008 09:17 PM 编辑 ]

Rei-NX

说到统考，再过两天就是了~
以下有几道问题，希望大家帮帮忙~
解答的时候最好不要跳步骤~
以简单容易明白的步骤为主~

1. 这题有图，但无法在这里画出，请想象一下吧~
图是这样的：一个长方形，其底为 2r 及高为 h~
上面有半个圆形盖着，半径为 r，整个图的周长为 p~
试证当半圆的半径为 p / (4+π) 时，此面积为极大~

2. 曲线 y=Ax^3+Bx^2+Cx+D 在点(0,1)与(1,10)上~
其切线方程式分别为 2x-y+1=0 及 20x-y-10=0~
试求 A、B、C 及 D 之值~

3. 已知 y=3x^5，若 x 增加了 0.1%~
求 y 的近似增加率，以 % 表示~

4. 六位学生站成一排，其中甲不在第一个位置~
或者乙不在最后一个位置的排法有多少种？

5. 已知 (1+ax+bx^2)(1-x)^6 展开式中~
x 与 x^2 的系数分别为 -4 及 0，求 a 与 b 之值~

暂时这样，以后有问题再来发问，谢谢大家~ =w=

irohazaka

答案是（15）4abc
老师对吗？

mathlim

是的。
但我兴趣的是你的做法。

mathlim

原帖由 Rei-NX 于 21-10-2008 09:38 PM 发表
1. 这题有图，但无法在这里画出，请想象一下吧~
图是这样的：一个长方形，其底为 2r 及高为 h~
上面有半个圆形盖着，半径为 r，整个图的周长为 p~
试证当半圆的半径为 p / (4+π) 时，此面积为极大~

2h + 2r + πr = P
A = πr²/2 + 2hr
    = πr²/2 + (P - 2r - πr)r
    = - πr²/2 + Pr - 2r²
dA/dr = - πr + P - 4r
          = - (4 + π)r + P
d&sup2;A/dr&sup2; = - (4 + π) < 0
∴ 当半径 r = p / (4+π) 时，此面积为极大。

mathlim

原帖由 Rei-NX 于 21-10-2008 09:38 PM 发表
2. 曲线 y=Ax^3+Bx^2+Cx+D 在点(0,1)与(1,10)上~
其切线方程式分别为 2x-y+1=0 及 20x-y-10=0~
试求 A、B、C 及 D 之值~

2x - y + 1 = 0 的斜率为2，
20x - y - 10 = 0 的斜率为20。
dy/dx = 3Ax&sup2; + 2Bx + C
过(0, 1)得 D = 1
过(1, 10)得 A + B + C + D = 10
过(0, 1)处的切线斜率为2得 C = 2
过(1, 10)处的切线斜率为20得 3A + 2B + C = 20
解得A = -16, B = 33, C = 2, D = 1。

mathlim

原帖由 Rei-NX 于 21-10-2008 09:38 PM 发表
3. 已知 y=3x^5，若 x 增加了 0.1%~
求 y 的近似增加率，以 % 表示~

这是统考的一道选择题，答案一看就知道是0.5%。
y = ax^n，
若 x 增加 k%，则 y 增加 nk%。
你可以去参考其他例子，
看看是不是符合我说的。
我不是用猜的，这是可以证明的。

做法：
(△x/x)×100% = 0.1%
dy/dx = 15x^4
△y ≈ dy/dx×△x = 15x^4 ×△x
(△y/y))×100% ≈ 15x^4 ×△x / 3x^5 ×100%
                           = 5×△x/x×100%
                           = 5×0.1%
                           = 0.5%

mathlim

原帖由 Rei-NX 于 21-10-2008 09:38 PM 发表  
4. 六位学生站成一排，其中甲不在第一个位置~
或者乙不在最后一个位置的排法有多少种？

排列数 = 总排列数 - 甲在第一位置且乙在最后一个位置的排列数
              = 6! - 4! =  696
A = {甲在第一位置}，B = {乙在最后一个位置}
A' = {甲不在第一位置}，B' = {乙不在最后一个位置}
A' ∪ B' = {甲不在第一位置或者乙不在最后一个位置}
A' ∪ B' = (A ∩ B)' = ξ \ (A∩B)

我想这一道题，可能很多人的答案是504。
他们的做法是 6! - 5! - 5! + 4!。
他们把题目误解成六位学生站成一排，其中甲不在第一个位置~
而且乙不在最后一个位置的排法有多少种？

mathlim

原帖由 Rei-NX 于 21-10-2008 09:38 PM 发表
5. 已知 (1+ax+bx^2)(1-x)^6 展开式中~
x 与 x^2 的系数分别为 -4 及 0，求 a 与 b 之值~

(1-x)^6 的展开式中，
通项 Tr+1 = 6Cr (-x)^r
常数项为1，
x 的系数为 -6，
x&sup2; 的系数为 15。
(1+ax+bx^2)(1-x)^6 = (1 + ax + bx&sup2(1 - 6x + 15x&sup2; + …)
                                  = [1 + (a-6)x + (15-6a+b)x&sup2; + …]
a - 6 = -4
15 - 6a + b = 0
解得 a = 2, b = -3。

irohazaka

原帖由 mathlim 于 22-10-2008 07:18 AM 发表
是的。
但我兴趣的是你的做法。

=(b+c)(c+a)(a+b)+abc+abc-[(c+a)(ca)+(b+c)(bc)+(a+b)(ab)]
=[bc+ab+c^2+ac](a+b)+2abc-[(c^2)a+(a^2)c+(b^2)c+(c^2)b+(a^2)b+(b^2)a]
=4abc

还有什么方法可以？？

mathlim

这是一道选择题，
可以从好几处着手。
① a, b, c之间是对称的。（轮换对称、绝对对称）
     所以展开后的式子也应该是对称的。
     根据这个概念，就可以把不对称的答案淘汰。
② 观察可知展开式是齐次的，而且是三次。
     根据这个概念，就可以把非齐次或非三次的淘汰。
③ 这是绝招。令a = b = c = 1，容易计算得行列式的值为4，
     答案中只有4abc符合。

Rei-NX

今天终于考完统考了，虽然不知道成绩怎样~
但还是很兴奋，长大咯，哈哈~
我把这次统考的一些数学题放上来~
都是我不会的，尤其是高级数学~
给大家动动脑筋，玩一玩，解一解~ =w=

1. 若x轴是曲线y=x^2-mx^2+8x+3的切线，求m的值。

2. 将一条6m长的电线切断并拼成15个正方形，由小到大顺序将它们排列~
若相邻两个正方形的周长之差为4cm，求最小正方形边长的长度~

3. 已知sinα=a及cosβ=b，且90度<α<180度及270度<β<360度~
求sin(α+β)，以a及b表示之。

4. 已知 3^log x (底2) = 81^log y (底4)~
式中x及y>0，求y，以x表示之。

5. 对一圆 2x^2+2y^2+3x-4y-c=0，求~
(a) 圆心坐标。
(b) c 的取值范围。
(c) c 的值，若半径是6。

6. 证明 cos3A=4cos^3 A-3cosA

7. 方程式 (p+q-1)x^2+2px+p-q+1=0，式中p+q不等于1~
(a) 判别它的根的性质。
(b) 若此方程式的两根是α和β~
求以α+β及αβ为两根的另一个方程式，以p及q表示之。

8. 若多项式f(x)除以(x-1)(x-2)的余式是2x+5~
且f(3)=5，求f(x)除以(x-1)(x-3)的余式。

9. 一隐函数定义为 xIn(y+1)+3x(y+1)+e^y=7~
求当y=0时dy/dx的值。

10. 一条曲线 y=f(x) 经过一点 (-1,-4)~
若这条曲线上任一点的切线斜率是 3x^2-2x-1~
(a) 求该曲线方程式。
(b) 求该曲线驻点坐标。
(c) 验证极值点的特性。

其实还有一题，有图，画不出来~ =w=