【分享+讨论】fibonacci数列

微中子

fibonacci是一个蛮有趣的数列,在这里希望和各位分享和讨论一切关于fibonacci数

之前,曾经在某个主题里讨论过fibonacci数,
http://chinese.cari.com.my/myfor ... =63840&fpage=3.
但是,这些只不过是其中的一部分而已.

-------------------------------------------

关于此数列的基本特性:

定义f[size=-2]n为第n个fibonacci数.

fibonacci数列:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,...

那么
f[size=-2]1 = 1
f[size=-2]2 = 1
f[size=-2]3 = 2 = 1 + 1
f[size=-2]4 = 3 = 1 + 2
f[size=-2]5 = 5 = 2 + 3

看到什么了吗?如果还没有,再注意
f[size=-2]6 = 8 = 3 + 5 = f[size=-2]4 + f[size=-2]5
f[size=-2]7 = 13 = 5 + 8 = f[size=-2]5 + f[size=-2]6

对了!!!
fibonacci数列有以下这个特性:
f[size=-2]n = f[size=-2]n-2 + f[size=-2]n-1

至于这个数列和兔子有什么关系呢?
请看下一回!!!


P/S: 微中子对fibonacci的了解也不多,所以如果有发现任何错误,请指正!谢谢．

期待中！！！！！！！！！

微中子

让我们来看看这奇怪的兔子!

注意,fibonacci的兔子和生活上的兔子有一点不同.

1) 兔子永远都不会死的...长生不老,千秋万载,一统江湖!!!
2) 刚刚生产的一对兔子不能生育,要等一个月过后,成熟了才能传宗接代.
3) 每个月生产一次.而且每次不多不少,正好生一对兔子!!!

好了..
现在假如我们买了一对刚刚生的兔子.

第1个月 : 一对刚生的兔子                = 1对
第2个月 : 一对成熟的兔子                = 1对
第3个月 : 一对成熟的兔子,一对刚生的兔子 = 2对
第4个月 : 两对成熟的兔子,一对刚生的兔子 = 3对
第5个月 : 三对成熟的兔子,两对刚生的兔子 = 5对
.
.
.


注意到了吗?
1,1,2,3,5,...??

再看看:

让我们把兔子分成两类,
A : 成熟的兔子
B : 刚生的兔子

月份            A               B               A+B
1               0               1                1
2               1               0                1
3               1               1                2
4               2               1                3
5               3               2                5
6               5               3                8

注意到了吗?
每一个月份,A的数量是上个月份A+B的数量.
每一个月份,B的数量是上个月份A的数量,也是前两个月份A+B的数量.
那么每一个月份A+B的数量是上个月份A+B的数量+前两个月份A+B的数量.

所以如果我们定义
f[size=-2]n = n月份的兔子总和,
我们得到
f[size=-2]n = f[size=-2]n-2 + f[size=-2]n-1
得到的结论和上一期的一样.

如果你够细心的话,你会发现,每月份A的数量,也是属于fibonacci 数.
想想看为什么啦!

下期再续...(忙着整理东西,要回家了.下个月再续)

[ Last edited by 微中子 on 24-4-2004 at 07:40 PM ]

哦哦哦,酱神奇！！！！

小鋒

嗯
fibonacci數列與普通的等差 等比數列的不同
閱讀後得:
數列在第一與第二項無關聯 之後從第三項開始才有跡可尋
且題目通常都給了第一與第二項
微中子兄能舉一些fibonacci的例子看看嗎?

微中子

小鋒 于 25-4-2004 02:56 AM  说 :
嗯
fibonacci數列與普通的等差 等比數列的不同
閱讀後得:
數列在第一與第二項無關聯 之後從第三項開始才有跡可尋
且題目通常都給了第一與第二項
微中子兄能舉一些fibonacci的例子看看嗎?

如果我们选
f[size=-2]1 = 1
f[size=-2]2 = 3

我们会得到Lucas数列:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...

我们可以一般化
g[size=-2]1 = p
g[size=-2]2 = q

g[size=-2]n = g[size=-2]n-2 + g[size=-2]n-1

那么,我们会得到
p, q, p+q, p+2q, 2p+3q, 3p+5q, 5p+8q, 8p+13q, ...

对了,以上每次所提到
f[size=-2]n = f[size=-2]n-2 + f[size=-2]n-1
n 必须是整数,而且要>2才能够成立.

小鋒网友,不懂你指的是不是这些?

第四期预告,Mathematical induction的方法.
第五期预告,黄金分割

pipi

我们所学过的 Pascal Triangle 也跟这fibonacci 数列有关，如下：

pipi

fibonacci 数列叫做

好神奇的黄金数字：

http://goldennumber.net/index.html

多普勒效应

好像没有人讨论 Fibonacci 的通项公式也....
最今找到的：
Fn= (1/ √5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

铁蛋

多普勒效应 于 30-5-2004 05:00 PM  说 :
好像没有人讨论 Fibonacci 的通项公式也....
最今找到的：
Fn= (1/ √5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

这是 Binet's formula.有些书本要求读者用归纳法证之. 有本 Journal : Fibonacci Quarterly, 专门发表这类研究.至今已有无数 identities, 供研究者使用， 或学生玩.

有空来游览这网页：
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

大家来玩玩这个：


和讨论的题目有关。

[ Last edited by 铁蛋 on 31-5-2004 at 01:01 PM ]

铁蛋

奇怪。。。没有人要玩 continued fractions 吗?

小弟有份文献：

THE FIBONACCI SEQUENCE AS IT APPEARS IN NATURE。

by S.L.Basin, 1963. Fibonacci Quarterly, Vol. 1: 53-56.

浅白，很有意思。内有关这个系列如何出现在：

１。雄蜜蜂的 Genealogical Tree

２。电路

３。光线折射

有兴趣索取者请短消息给我。

微中子

铁蛋 于 9-6-2004 01:56 PM  说 :
奇怪。。。没有人要玩 continued fractions 吗?

x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)))

1/(x-1) = x

x^2 - x - 1 = 0

x = (1 + sqrt(5))/2  (golden ratio) or (1 - sqrt(5))/2 (这个有可能吗?)


好像也有continued fraction可以代表pi和e
对吗?

铁蛋

微中子 于 9-6-2004 02:02 PM  说 :


x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)))

1/(x-1) = x

x^2 - x - 1 = 0

x = (1 + sqrt(5))/2  (golden ratio) or (1 - sqrt(5))/2 (这个有可能吗?)


好像也有continued fraction可以代表pi和e
对吗?

这个解，很好。。。! 我看我们可以排除另一个答案，因为很明显它是负数，而我们的continued fraction 肯定是 ＞０.

有个公式:



替入 z = 1 就可以了.

铁蛋

e 的 continued fraction 找到一个:

flyingfish

这个网站很好,有很多图,还有animation:
Fibonacci number & nature:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Pers ... bonacci/fibnat.html

网友们也看看微中子网友开这帖时的link,有以前大家讨论fibonacci numbers 时的一些帖子,蛮好看的..

jangancari

记得十几年前，还是中学生时，无意中自己发现， Fibonacci 数列之间的商竟然是黄金比率时 ，还想在大学作这方面的研究 。。 没想到，早就有人先发现了 。。 ， 不过还是蛮兴奋的 。。。

pipi

以下是引用 多普勒效应 在
＂University of New South Wales - Mathematics Competition＂所贴的回复。请看
http://chinese.cari.com.my/myfor ... ge=1&sid=w8lZGk

多普勒效应 于 31-7-2004 03:00 PM  说 :
今年AMC 中级组 第29题 :
在 Fibonanci 数列首 2004 项里，共有几个的末尾数是 2 ?
答案是 133.慢慢写出来得，
不过，有更神奇的解法吗？

我也来试一试，结果如下（Fibonanci 数列（mod 10））
1,1,2,3,5,
8,3,1,4,5,
----------
9,4,3,7,0,
7,7,4,1,5,
----------
6,1,7,8,5,
3,8,1,9,0,
----------
9,9,8,7,5,
2,7,9,6,5,
----------
1,6,7,3,0,
3,3,6,9,5,
----------
4,9,3,2,5,
7,2,9,1,0,
----------
1,1,2,3,5,...
设 F(r) 为 Fibonanci 数列 的第 r 项。
它除了每六十个重复一次（F(r)≡ F(r+60) (mod 10)），
还 F(r-5) + F(r) ≡ F(r+5) (mod 10)。
而且每 60 项里，
偶数重复 4 次；奇数重复 8 次。
为何？？？
大家来玩玩吧！！！

agsd121

跟sierpinski triangle 很有关系.将even numbers拿掉就看到了.
paxcal's triangle也可以找出为何跟triangle向关的 chaos game可以玩出sierpinski's triangle

agsd121

加都一句: 也跟binomial distribution 也相关.可以用来找出他们的coefficients等等的.