Taylor series

lyt87

Taylor series 好难，
find the taylor series  for  x/(1-x) at x = 1
这题如何解决？
我这样做对吗？
let f(x) = x / 1-x
            = x + 2x^2 + 3x^3 + .......
            = sum form n = 1 to n = infinity (x^n)

可以解释何为taylor series 吗？

dunwan2tellu

你的题目有问题

f(x) is not continuous at x = 1 , 所以它不可能 differentiable at x = 1 .

Taylor Series 的主要中心围绕着 differentiable 的 function 走。如果他不能 differentiable at 那个 point , 那么它就不能写成 Taylor Series .

lyt87

哦，
有一题，　Ｅｖａｌｕａｔｅ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　

　　　　　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｆｒ　０　－＞ｉｎｆｉｎｉｔｙ　１／（n!(n+2))

hint: integrate the taylor series of xe^x

我忘了，　什么是　ｉｎｔｅｇｒａｔｅ　ｔａｙｌｏｒ　ｓｅｒｉｅｓ？

dunwan2tellu

原帖由 lyt87 于 9-9-2007 05:00 PM 发表
哦，
有一题，　Ｅｖａｌｕａｔｅ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　

　　　　　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｆｒ　０　－＞ｉｎｆｉｎｉｔｙ　１／（n!(n+2))

hint: integrate the taylor series of xe^x

我忘了，　什么是　ｉ ...

先来找找看 f(x) = xe^x 的 Taylor expansion at x = 0 ;

不难得到 f(x) = x + x^2/1! + x^3/2! + x^4/3! + ..... + x^n/(n-1)! + ...
              = Sum_{i=1 to infinity} x^i/(i-1)!

let g(x) = Integrate f(t) dt (from t=0 to t=x)
         = Integrate Sum_{i=1 to infinity} t^i/(i-1)! dt
         = Sum_{i=1 to infinity} Integrate t^i/(i-1)! dt
         = Sum_{i=1 to infinity} x^(i+1)/[(i+1)(i-1)]
    g(1) = ｓｕｍ　ｆｒ　０　－＞ｉｎｆｉｎｉｔｙ　１／（n!(n+2))

因此只要你会 Integrate f(x) = xe^x from 0 to 1 ,你就可以找到你要的东西。

** g(1) = Integrate f(t) dt (from t=0 --> t=1)

lyt87

为何= Sum_{i=1 to infinity} x^(i+1)/[(i+1)(i-1)]

而不是= Sum_{i=1 to infinity} x^(i+1)/[(i+1)(i-1)！]

integrate 后，　‘！’就不见了？

lyt87

明白了，谢谢你！！！