Pre-Calculus， binomial theorem的问题

eclipse5575

各位大大帮帮忙，这里有个问题，百思不解，希望各位大大代为解答

Question
If expansion of (1+ax)^n until and including the term in x^2 is 1+x-(1/2)x^2, find a and n

这题应该是挺容易的，可是我就是想不透，我又在自修，实在没办法才来这里问问的

[ 本帖最后由 eclipse5575 于 6-5-2007 09:32 AM 编辑 ]

~HeBe~_@

(1+ax)^n
= 1^n +[n(1)^(n-1)](ax) + [n(n-1)(1)^(n-2)](ax)^2
= 1^n + n(ax) = (n^2 - n)(ax)^2
= 1 +anx +(a^2)(n^2  -   n)(x^2)

comparing the coefficient to the 1+x-(1/2)x^2

Therefore, n=2/3   and a =3/2

[ 本帖最后由 ~HeBe~_@ 于 12-5-2007 10:19 AM 编辑 ]

kensai

我想问一个问题，为什么0!= 1 ， zero factorial =1？
我问老师，老师说因为书本写这样不是follow 咯

eclipse5575

看不明白
不过，谢啦

~HeBe~_@

为什么0!= 1?
我也是不知哦。。
原理不知道。。

kimsiang

原帖由 kensai 于 8-5-2007 10:07 AM 发表
我想问一个问题，为什么0!= 1 ， zero factorial =1？
我问老师，老师说因为书本写这样不是follow 咯

虽然书本上都说0!=1是定义，但是一般上可以用两种方法来解释。
1)N是1或以上的整数，所以呢，利用(N-1)! = N!/N 可得 (1-1)!=1!/1 ,
也就是说 0! = 1。

2)nPn = n个不同的东西的顺列排法的总数 = n!
所以呢，0!可解释为，0个不同的东西的顺列排法的总数=只有一个方法，就是什么都不排 = 1。

迷途小书僮

原帖由 kensai 于 8-5-2007 10:07 AM 发表
我想问一个问题，为什么0!= 1 ， zero factorial =1？
我问老师，老师说因为书本写这样不是follow 咯

简单来说，没有选择（０！）也是一个选择（１）。

原帖由 kensai 于 8-5-2007 10:07 AM 发表
我想问一个问题，为什么0!= 1 ， zero factorial =1？
我问老师，老师说因为书本写这样不是follow 咯

对咯, 我也很想知道.
以前我曾问过老师, 她却问回我为什么1+1=2?

hamilan911

原帖由 ~HeBe~_@ 于 5-5-2007 09:05 PM 发表
(1+ax)^n
= 1^n +(ax) + (ax)^2
= 1^n + n(ax) = (n^2 - n)(ax)^2
= 1 +anx +(a^2)(n^2  -   n)(x^2)

comparing the coefficient to the 1+x-(1/2)x^2

Therefore, n=2/3   and a =3/2

路过翻帖，发现你的解法有误

（1+ax)^n
= 1^n + n(ax) + n(n-1)/2 (ax)^2
= 1 + nax + a^2(n^2 - n)/2 (x^2)

equating coefficients,
na = 1
a^2(n^2 - n) = - 1

解得 a = 2, n = 1/2

他的答案才是正确的。
之前的展开式中有错误。

~HeBe~_@

不好意思，没去发觉到展开试中有错误。
觉得人有点老了，有点粗心。。。。

yaahoo

说实在，如果你问我0！=1。我也会回答说那是定义，而这也的确是正确的解释。


如果那是定义，更进一步的问题就是如此定义是不是有用和真的可以如此定吗？如果答案是肯定的，那定义又有何不可呢？


同理，如果你能回答上面两个问题，你就知道为何1 + 1 = 2了。

yaahoo

从更高等的数学角度来看，n!也可以看成是Gamma函数在非负整数上的值，用此定义则0！就可以算出应该为1。