某国奥数题

jinqwem

很简单下，
let f(x) >=0 x is an natural number
f(mn)=f(m)+f(n)
f(10)=0
f( any number last digit is 3 )=0
find f(1984), f(1985)
我后来发现可以证明所有数字都是0

dunwan2tellu

你说得没错，对于任何正整数 n , 都有f(n) = 0

我的方法是先证明“必定存在某个 k 使到 f(3^k * (10m+r)) = 0  , k,m,r = 正整数 而且 0=<r=<9 ,r=/=2,5”

之后再证明对于任何正整数 n 都有 f(2n) = f(5n) = 0 。（注意到对于任何 n 都有 f(n) >= 0 )

那么就得以证明题目了。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 12-3-2007 02:58 PM 编辑 ]

jinqwem

那天看到一个关于称称法码的题目,
一)(热身), 八十个法码, 其中之一的重量与其他的不同, 问最多需用天平量几次就可知是那一个?
二), 二十个法码, 由若干较重的铁制法码和若干较轻的铝制法码组成, 问最多需用天平量几次就可知各类法码各有多少个?
三) , 三十个法码, 由若干最重的金制法码和若干较轻的铁制法码及若干最轻的铝制法码组成, 问最多需用天平量几次就可知各类法码各有多少个?

blue_yee

原帖由 dunwan2tellu 于 12-3-2007 02:55 PM 发表
你说得没错，对于任何正整数 n , 都有f(n) = 0

我的方法是先证明“必定存在某个 k 使到 f(3^k * (10m+r)) = 0  , k,m,r = 正整数 而且 0=<r=<9 ,r=/=2,5”

之后再证明对于任何正整数 n 都有 f(2n)  ...

好像把这些统统还给老师了。可以放步骤出来吗？谢谢。

jinqwem

f(10)=f(2)+f(5)
0=f(2)+f(5)
f(2)=0, f(5)=0
F(3)=0
f(10)=F(1)+f(10)
f(1)=0
f(4)=0
f(6)=0
f(7)=f(63)-f(9)=0
f(8)=0
f(9)=0
不难推出所有正整数都等于零

dunwan2tellu

因为 3^k * (10m + r) == 3^k * r (mod 10)
而且 r =/= 2,5 , 那么一定可以找到 a 使到 a * 3^(k-1) * r == 1 (mod 10) 也就是说 a 是 3^(k-1) * r 的 inverse modular 10 .

所以 3^k * (10m+r) == 3 (mod 10)
表示一定可以找到 k 使 3^k * (10m+r) 的 last digit = 3 因此
f(3^k * (10m+r)) = f(10p+3) = 0
但是 f(3^k * (10m+r)) = f(3^k) + f(10m+r) = 0
==> f(10m+r) = 0
==> 任何数目 j ，如果末位数不是 2 , 5 的话就会得到 f( j ) = 0

又 f(10) = f(2*5) = f(2) + f(5) = 0 ==> f(2) = f(5) = 0
设 m=2 => f(2n) = f(2) + f(n) = f(n)
设 m=5 => f(5n) = f(5) + f(n) = f(n)
=> f(2n) = f(5n) = f(n)

所以对于任何末位数是 2 或 5 的号码，我没都可以将他不断 除与 2 和 5 直到他没有 2 和 5 的 factor 为止 (用 f(2n) = f(5n) = f(n))
那么新的树木末位数就不会是 2 或 5 ,也就是说它符合 f( 10m+r) = 0 , r=/=2,5

所以就算他末位数 = 2,5 还是一样 f(n) = 0

jinqwem

另有一题, f(R) is a element of R
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
f(x)=?
我手上没有标准的答案, 只有自己推算的答案. 希望和大家切搓.....

[ 本帖最后由 jinqwem 于 28-3-2007 09:12 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 jinqwem 于 28-3-2007 09:09 PM 发表
另有一题, f(R) is a element of R
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 ....(i)
f(x)=?
我手上没有标准的答案, 只有自己推算的答案. 希望和大家切搓.....

设 y = -x^2 那么 f(0) + f(f(x) + x^2) = 2f(f(x) + 2x^4
设 y = f(x) 那么 f(x^2 + f(x)) + f(0) = 2ff(x) + 2[f(x)]^2

比较得到 [f(x)]^2 = x^4 或则 f(x) = x^2 OR f(x) = - x^2 .....(ii)
带入 x=0 进(ii) 得到 f(0) = 0
带入 x=0 进 (i) 得到 f(y) + f(-y) = 2y^2 .....(iii)
如果 f(x) = -x^2 那么就不符合 (iii) , 所以

f(x) = x^2