Calculus : 不错的积分题目

dunwan2tellu

这是我的学校老师给的题目。我觉得很不错！

求

Int[ x^2 Sin[x]/(8 +(Sin[x])^2) dx , (x: 0 -> 2Pi)]

~HeBe~_@

Int[ x^2 Sin[x]/(8 +(Sin[x])^2) dx , (x: 0 -> 2Pi)]

什么是Int[..........]?

dunwan2tellu

int = integration

不好意思，不由注明清楚。

铁蛋

答案: -2/3 π^2 Log(2).

证明:

1) 分母可以写成 9 - cos^2(x) = [3+cos(x)][3-cos(x)].

2) 1/ [3+cos(x)][3-cos(x)] = 1/[3+cos(x)]  + 1/[3-cos(x)] .

3) Part by part integration 得到

-2/3 π^2 Log(2) + T/6,

T = 2∫x Log[ {3+cos(x)} / {3-cos(x)} ], x 从 0 积到 2π.

4) 来个变换 u = x - π.

5) 再来个变换 w = u - π/2, 得 T=0.

dunwan2tellu

原帖由 铁蛋 于 1-8-2006 02:01 PM 发表
答案: -2/3 π^2 Log(2).

证明:

1) 分母可以写成 9 - cos^2(x) = .

2) 1/  = 1/  + 1/ .

3) Part by part integration 得到

-2/3 π^2 Log(2) + T/6,

T = 2∫x Log, x 从 0 积到 2π.

4) 来 ...

看来这题又有另一个解法了（我的老师也有 show 一个，我自己有另一个）。

（2）的少了一个 1/6

我想知道 (4),(5) 你是否用了 odd/even function 的对称性来做？还是另有乾坤？

铁蛋

是的

(4) 用 odd function 来消除其中一个难积的积分, （５）是利用了对称性.

谢谢指正，忘了 (2) 右手边要乘上 1/6.

这种问题一般就是用这些概念来化解难积的部分。

ckinsung

我觉得我应该做错了，请问我在哪里做错？

我是不是在partial fraction 那边做错？

dunwan2tellu

当然，你并不能这样 partial fraction , 因为你的 sin x 不见了。你注意看铁蛋用的 partial fraction , 他只是把

1/(9-cos^2 x)

写成

1/6 * ( 1/(3-cos x) + 1/(3+cos x) )

他并没有把 x^2 sin x 包括在内。

除了 polynomial 之外，“另类”的 function （比如有 sin x,cos x,e^x) 如果你要 partial fraction 都不能用“普通的方法”来找的。

ckinsung

我知道怎么做了。 你和你老师的方法是什么？ 你在解这题时在哪个步骤上和铁蛋做的不一样？

dunwan2tellu

大致上三个方法都是用“两次substitution”。只不过看你如何去“利用”这 substitution 罢了。