经典级数题目

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 3-3-2006 05:52 PM 发表
反三角函数级数题：
证明 arctan (1/(2k^2)) = arctan (2k+1) - arctan(2k-1) ，之后

求 sum_{k=1 to 无限} arctan(1/(2k^2)) = ？

设arctan (2k+1) - arctan(2k-1) = X
tan(arctan (2k+1) - arctan(2k-1)) = tan X
tan(arctan (2k+1) - arctan(2k-1)) = [(2k+1) - (2k-1)]/[1+(4k^2 -1)
                                  = 2/(4k^2)
                                  = 1/(2k^2)
tan X = 1/(2k^2)
X = arctan1/(2k^2)  
sum_{k=1 to 无限} arctan(1/(2k^2)) = sum [arctan (2k+1) - arctan(2k-1)]
                                   = arctan{无限} - arctan{1}
                                   = pi/2 - pi/4
                                   = pi/4
呵呵，谢谢楼下的提醒，没注意到。。

[ 本帖最后由 hamilan911 于 11-3-2006 11:17 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

arc tan (infty) = pi/2

dunwan2tellu

经典级数又来了！

若　x_k = k/2005 ( ex : x1 = 1/2005,x2=2/2005 ....)

求　Sum_{k=0 to 2005} (x_k)^3/{3(x_k)^2 - 3x_k + 1} = ?

**题目来源：ＡＰＭＯ　２０００

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 2-4-2006 03:23 PM 发表
经典级数又来了！

若　x_k = k/2005 ( ex : x1 = 1/2005,x2=2/2005 ....)

求　Sum_{k=0 to 2005} (x_k)^3/{3(x_k)^2 - 3x_k + 1} = ?

**题目来源：ＡＰＭＯ　２０００

设f(x) = x^3/(3x^2 - 3x + 1)
f(x) + f(1-x) = x^3/(3x^2 - 3x + 1) + (1-x)^3/[3(1-x)^2 - 3(1-x) + 1]
              = [x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3)]/[3x^2 - 3x + 1]
              = 1
所以sum_{k=0 to 2005} (x_k)^3/{3(x_k)^2 - 3x_k + 1} = 1003[f(x)+f(1-x)]
                                                    = 1003

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 2-4-2006 04:52 PM 发表

设f(x) = x^3/(3x^2 - 3x + 1)
f(x) + f(1-x) = x^3/(3x^2 - 3x + 1) + (1-x)^3/[3(1-x)^2 - 3(1-x) + 1]
              = [x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3)]/[3x^2 - 3x + 1]
              = 1
所以sum_{k= ...

霍霍！霍霍！霍霍霍霍!不愧是霍米兰911 .

generalised 又如何？

若 x_k = k/n

find Sum_{k=0 to n} (x_k)^3/{3(x_k)^2 - 3x_k + 1}

别被骗哦！

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 2-4-2006 05:02 PM 发表


霍霍！霍霍！霍霍霍霍!不愧是霍米兰911 .

generalised 又如何？

若 x_k = k/n

find Sum_{k=0 to n} (x_k)^3/{3(x_k)^2 - 3x_k + 1}

别被骗哦！

Sum_{k=0 to n} (x_k)^3/{3(x_k)^2 - 3x_k + 1} = (n+1)/2
因f(1/2) + f(1/2) = 2f(1/2) =1
f(1/2) = 1/2

[ 本帖最后由 hamilan911 于 2-4-2006 05:22 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

求下面的值

cos 2 + cos 6 + cos 10 + ... cos 174 + cos 178 = ?

flash

原帖由 dunwan2tellu 于 10-1-2006 06:49 PM 发表
平均数题目：

有101个整数，1到101。 你把他们分成两组A,B。A有m个数目，B有101- m 个数目。若40这数目从其中一组搬去另外一组，则A,B 的新平均数都比原来的大1/2。 请问 m 是多少？

m = 62

原帖由 dunwan2tellu 于 12-4-2006 09:52 PM 发表
求下面的值

cos 2 + cos 6 + cos 10 + ... cos 174 + cos 178 = ?

  cos 2 + cos 6 + cos 10 + ... cos 174 + cos 178
= cos 2 + cos 178 + cos 6 + cos 174 + .....cos 86 + cos 94 + cos 90
= 0

用 cos A + cos B = 2 cos[1/2(A+B)]cos[1/2(A-B)]

dunwan2tellu

原帖由 flash 于 13-4-2006 10:41 AM 发表


m = 62




  cos 2 + cos 6 + cos 10 + ... cos 174 + cos 178
= cos 2 + cos 178 + cos 6 + cos 174 + .....cos 86 + cos 94 + cos 90
= 0

用 cos A + cos B = 2 cos[1/2(A+B)]cos[1/2(A-B)]

都对！只不过 m=62 是如何得到的呢？

flash

原帖由 dunwan2tellu 于 13-4-2006 06:17 PM 发表


都对！只不过 m=62 是如何得到的呢？

假设 40 是在 A 组，a 代表 A 组号码的和, b 代表 B 组号码的和，那

a/m + 0.5 = (a - 40)/(m - 1)
(2a + m)(m - 1) = (2a - 80)m
m^2 + 79m - 2a = 0 ----- (1)

b/(101-m) + 0.5 = (b + 80)/(102-m)
(2b + 101 - m)(102 - m) = (2b + 80) (101 - m)
m^2 + - 123m + 2b + 2222 = 0 ----- (2)

(2) - (1)
2(a+b) - 202m + 2222 = 0
2(5151) - 202m + 2222 = 0  [5151 是 1 到 101 的和]
m = 62

dunwan2tellu

原帖由 flash 于 13-4-2006 08:23 PM 发表


假设 40 是在 A 组，a 代表 A 组号码的和, b 代表 B 组号码的和，那

a/m + 0.5 = (a - 40)/(m - 1)
(2a + m)(m - 1) = (2a - 80)m
m^2 + 79m - 2a = 0 ----- (1)

b/(101-m) + 0.5 = (b + 80)/(102-m ...

我的做法也和你差不多。

试试这题：

x,y,z 都为实数，且符合

sin x + sin y + sin z = cos x + cos y + cos z = 0 ,求证

(i)3 cos (x + y + z) = cos 3x + cos 3y + cos 3z

(ii)3 sin (x + y + z) = sin 3x + sin 3y + sin 3z

**这题应该算是“级数”吧？

dunwan2tellu

题目：证明

Sum_{k=0 to 88} 1/(cos k*cos k+1) = cos 1/(sin 1)^2

dunwan2tellu

灰羊，怎么没来玩啊。试试这题吧！应该是你的最爱。

伟达定理 vs 一元三次方程组：

一元三次方程组的三个根为 cos(2pi/7) , cos(4pi/7) , cos(6pi/7) .而这一元二次方程可以写成

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0  , a,b,c,d 都是整数。

求 a,b,c,d

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-4-2006 09:30 PM 编辑 ]