求助，哪位高人帮帮忙

If P（x) denotes a polynomial of degree n such that P ( k)= 1/k for k = 1, 2, ..., n+1, determine P(n+2).

dunwan2tellu

设 Q(x)=a[P(x)-1/x] , 那么当x = 1,2,3...,n+1 时

Q(1)=a[P(1)-1]=0 , (因为P(k)=1/k) ,Q(2)=0 , Q(3)=0 ......
Q(n+1)=0

由Factor theorem得知，当 Q(k)=0时，那么 x-k 一定是Q(x)的root.所以可得 Q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-(n+1))

但是Q(x)=a[P(x)-1/x]，所以 P(x)=(x-1)(x-2)...(x-(n+1))+1/x

带入 x=n+2 既可得到 P(n+2) = (n+1)! + 1/(n+2)

xuan88

你的脑子是什么做的？？？？？

dunwan2tellu

回顾了旧贴才发现有错误....

应该是设 Q(x) = x P(x) - 1 ,同理得到

Q(x) = a(x-1)(x-2)...(x-(n+1))

所以 xP(x)-1 = a(x-1)(x-2)...(x-(n+1))

x = 0 , ==> a = (-1)^n/ (n+1)!

==> P(n+2) = [(-1)^n + 1]/(n+2)