初等数论讨论中心

dunwan2tellu

这里有很不错的数论题目。有兴趣者请参考
http://my.netian.com/~ideahitme/pen2005.pdf

pipi

若 a, b, c 为整数，求(a,b,c)使得
a^3 + b^3 + c = 3abc.

DADDY_MUMMY

(1,1,1)?

dunwan2tellu

答案还有

(a,b,c) = (k,-k,0),(k,0,-k^3),(0,k,-k^3),(1,1,1),(k,-1-k,1) ... etc

k = integer

我相信还有其他的

多普勒效应

有一个蛮明显的"特点": a + b + c 一定可以被 3 整除!
不知道有没有用 ^^"

dunwan2tellu

原帖由 多普勒效应 于 20-11-2007 02:24 PM 发表
有一个蛮明显的"特点": a + b + c 一定可以被 3 整除!
不知道有没有用 ^^"

何以见得？

如果是 a^3 + b^3 + c^3 = 3abc ,那么 a+b+c 就被 3 整除。不过 a^3 + b^3 + c = 3abc 就看不出来。

多普勒效应

有几种方法!

第一种, 最原始的

a^3 ≡ a (mod 3), b^3 ≡ b (mod 3)
所以 3abc = a^3 + b^3 + c ≡ a + b + c (mod 3)
因此 a + b + c ≡ 0 (mod 3)

第二种:

首先, 3ab - 1 <> 0, 因为 a, b 均为整数.
整理可得:
              (a^3 + b^3)/(3ab - 1) = c
           => (a^3 + b^3)/(3ab - 1) + (a + b) = a + b + c
           => [a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + (a + b)]/(3ab - 1) = a + b + c
           => [(a + b)^3 - (a + b)]/(3ab - 1) = a + b + c
           => (a + b - 1)(a + b)(a + b + 1)/(3ab - 1) = a + b + c

分子是三连续整数相积, 因而必可被 3 整除, 但分母与三互质.
因此, (a + b + c) 可被三整除.

dunwan2tellu

电脑找到另外一些答案(只 analysis posivite 答案)

(a,b,c) = (1,1,1),（1，5，9），（33，5，73），（57，5，217），（225，33，513），（1043，51，7111），（271，71，351），（409，77，729）....

我让电脑跑 b=1 到 b=99 的 solution . (a,b, 对称所以没 list 出兑成的答案)  

有看到什么 pattern ?

kenny56

电脑可以找到答案？用什么software?

dunwan2tellu

原帖由 kenny56 于 22-11-2007 04:37 PM 发表
电脑可以找到答案？用什么software?

我是用 C++ 写 program 来 solve 的。坏处是不能找太大的答案（好像是只能维持在 4 ，5 位数里面）

DADDY_MUMMY

二元一次不定方程的求解公式

如果a,b互质，x_0,y_0 为方程ax + by = c的一组整数解，那么这个方程的全部整数解为
x = x_0 - bt,
y = y_0 + bt
其中t为任意整数。

eg:求方程13x + 30y = 4的整解数
当x = -2, y = 1时，
左边 = 13(-2) + 30(1) = 4 = 右边
所以x = -2, y = 1是方程的一组整解数。
方程的所有整解数为
x=-2 - 30t
y = 1 + 13t

麻烦解释下，为什么是这组号码，
别的号码不行吗？

dunwan2tellu

原帖由 DADDY_MUMMY 于 29-3-2008 12:38 PM 发表
二元一次不定方程的求解公式

如果a,b互质，x_0,y_0 为方程ax + by = c的一组整数解，那么这个方程的全部整数解为
x = x_0 - bt,
y = y_0 + at

其中t为任意整数。

eg:求方程13x + 30y = 4的整解数
当x = -2 ...

已知 (x_0,y_0) 为 ax + by = c 的整数解 ，

若存在另一个方程解 (x_1,y_1) , 则 ax_0 + by_0 = c = ax_1 + by_1
<==> a(x_0 - x_1) = b(y_1 - y_0)  ........(i)

因为 gcd(a,b)=1 所以必定是 a|(y_0 - y_1) ; b|(x_0-x_1)          （这里 a|b 的意思是 a 整除 b)

那么我们就可以写 y_1 - y_0 = a*p   ;  x_0 - x_1 = b*q  for some integer p,q ..........(ii)

或 y_1 = y_0 + a*p   ;   x_1 = x_0 - b*q

又从 (i),(ii) 知道 a * b * q = b * a * p ==> p = q ( 若 a,b =/= 0)

所以 设 p = q = t  , t = 整数 ， 那么

y_1 = y_0 + at
x_1 = x_0 - bt

也就是说 如果存在其他的整数解的话，那么那些整数解一定可以用 (x_0-bt,y_0 + at) 来表示 。我们称这个为 general solution for the Diophantine Equation

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-4-2008 10:19 AM 编辑 ]