初等不等式训练(题目在第1页)

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 13-4-2006 07:08 PM 发表
a,b,c>0 求证：

a^3 + b^3 + c^3 >= a^2b + b^2c + c^2a

** 应该用什么来证明呢？

用普通am-gm不就行了吗？？
a^3 + a^3 + b^3  >= 3a^2b  -(1)
同理得2b^3 + c^3 >= 3b^2c  -(2)
      2c^3 + a^3 >= 3c^2a  -(3)
(1)+(2)+(3)
得 a^3 + b^3 + c^3 >= a^2b + b^2c + c^2a
你用什么来做？

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 14-4-2006 01:05 PM 发表

用普通am-gm不就行了吗？？
a^3 + a^3 + b^3  >= 3a^2b  -(1)
同理得2b^3 + c^3 >= 3b^2c  -(2)
      2c^3 + a^3 >= 3c^2a  -(3)
(1)+(2)+(3)
得 a^3 + b^3 + c^3 >= a^2b + b^2c + c^2a
...

haha. 其实是我想太远了！想到要用 rearrangement ineq 来做。

a>=b>=c , a^2 >= b^2 >= c^2 .

同序 = a^3 + b^3 + c^3
乱序 = a^2b + b^2c + c^2a

同序 >= 乱序 >= 反序

dunwan2tellu

奇怪的不等式：

给于 0 =< a,b,c =< 1 , 求证

a^2 + b^2 + c^2 =< 1 + a^2b + b^2c + c^2a

提示：完全没用到 AM-GM 。试试考虑 quadratic eqution .

dunwan2tellu

原帖由 dunwan2tellu 于 16-4-2006 10:18 PM 发表
奇怪的不等式：

给于 0 =< a,b,c =< 1 , 求证

a^2 + b^2 + c^2 =< 1 + a^2b + b^2c + c^2a

提示：完全没用到 AM-GM 。试试考虑 quadratic eqution .

揭晓吧！

设 f(a) = (1-b)a^2 - c^2a + (b^2+c^2-b^2c-1)  

==>f(0) = (1-c)(b^2-c-1)=<0
f(1) = b^2(1-c)-b =b(b-bc-1)=<0

因为f(a)是 U shape quaratic 所以 f(a) =< 0
<==> a^2 + b^2 + c^2 =< 1+a^2b+b^2c+c^2a

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 27-3-2006 07:06 PM 发表
还有一题 Nesbitt

再出一题！

若 a+b+c=1 , 且 a,b,c>0 求证

sqrt{ab + c} +　sqrt{ac +b} + sqrt{ bc+a } >= 1 + sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}

a+b >= 2sqrt{ab}
a+b+c >= 2sqrt{ab} + c
c(a+b+c) + ab >= 2c sqrt{ab} + c^2 + ab
sqrt{a + bc}  >= c + sqrt{ab}
同理可证明
sqrt{ab+c}+sqrt{ac+b}+sqrt{bc+a} >= a + b + c + sqrt{ab} + sqrt{ac} + sqrt{bc}
sqrt{ab+c}+sqrt{ac+b}+sqrt{bc+a} >= 1 + sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}

很奸诈的一个不等式。。

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 16-5-2006 03:38 PM 发表

a+b >= 2sqrt{ab}
a+b+c >= 2sqrt{ab} + c
c(a+b+c) + ab >= 2c sqrt{ab} + c^2 + ab
sqrt{a + bc}  >= c + sqrt{ab}
同理可证明
sqrt{ab+c}+sqrt{ac+b}+sqrt{bc+a} >= a + b + c + sqrt{a ...

就老实告诉你吧！这是 APMO的题目！

要不要证明他 =< 2 ？

hamilan911

ab + c = ab + 1 - a - b = (1-a)(1-b)
用am-gm, (1-a) + (1-b) >= 2 sqrt{ab+c}
同理得   (1-b) + (1-c) >= 2 sqrt{bc+a}
         (1-c) + (1-a) >= 2 sqrt{ac+b}
总和得 2 >= sqrt{ab+c} + sqrt{bc+a} + sqrt{ac+b}

dunwan2tellu

怪条件 + 根号不等式：

a,b,c> 0 , 1/a + 1/b + 1/c = 2 。求证

sqrt{a + b + c} >= sqrt{a-1} + sqrt{b-1} + sqrt{c-1}

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 20-5-2006 07:45 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

不错的不等式网站！

http://my.netian.com/~ideahitme/tin2006.pdf

kelvin_ng

不好意思，我想问问这里的聪明人，
请问这类数学是什么程度才有学的？高三？大学？
还是要特别另外学的呢？
我这里的老师都不大懂这些，我问过他们OMK的题目，他们却说需要给他们很多时间来想，还说有些不会呢！
OMK（National Mathematic Olympiad）的题目我是从一本历年OMK的书找到的，我看了都傻眼，因为不明白在说些什么！

而我又是那些热爱数学的人，学校学的数学我已经没兴趣了（不是说我骄傲啦，这我可觉得是真的太没挑战了，MT还说OK），太没有挑战性了，我想学学课外的，来挑战以下自己，也顺便提升自己！

kelvin_ng

学这个之前还要学什么东西吗？为什么有些数学符号我还是不明白？
这些数学你们通常有多久时间来解答？
何谓不等式数学？
另外什么是AM-GM？应该是短称来的吧？
在什么bidang有用到？
对我们日常生活有什么用呢？

hamilan911

原帖由 kelvin_ng 于 21-5-2006 02:22 AM 发表
学这个之前还要学什么东西吗？为什么有些数学符号我还是不明白？
这些数学你们通常有多久时间来解答？
何谓不等式数学？
另外什么是AM-GM？应该是短称来的吧？
在什么bidang有用到？
对我们日常生活有什么用 ...

这是不等式证明题。不须学其他东西。靠思维能力和技巧解题。。
AM-GM的意思，你去首页看看吧。。。

dunwan2tellu

AM-GM 练习：又来一个奇怪的不等式！

a,b,c>0 且 a+b+c = 2 ,求证

a^2bc =< 1/4

看起来很奇怪，不过其实只用 AM-GM ... 谁有  idea ?

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 24-5-2006 01:33 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

有没有看过这样用 AM-GM 的怪招？我在 AoPS 看到怪人用怪招

题目：
x,y>= 0 ,求证 (x^2+y^2)^2 >= 3x^3y

证明：

(x^2 + y^2)^2 >= 9sqrt{3}/16 * (x^2+y^2)^2  <---因为 1 >= 9sqrt{3}/16
              = sqrt{3} [ (x^2 + x^2 + x^2 +3y^2)/4 ]
              >= sqrt{3} [ sqrt{3} x^3y]   <---AM-GM
              = 3x^3y
证毕！

看来这世上真是无奇不有。你们说是不是？

对了多普勒，那么旧没看到 pipi 了，近来好吗？

另外一种方法是用  ( x - y )^4 >= 0 <==> x^4 + y^4 + 6(xy)^2 >= 4xy(x^2+y^2)....(i)

然后再用 (x-2y)^2>=0 <==> x^2 + 4y^2 >= 4xy ,乘上 xy -> x^3y + 4xy^3 >= 4(xy)^2 ....(ii)

(i) + (ii) : x^4 + y^4 + 2(xy)^2 >= 3x^3y <==> (x^2 + y^2)^2 >= 3x^3y 证毕

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-6-2006 05:57 PM 编辑 ]