几何问题

mathlim

我也证明过这一道题，贴上来与大家分享。



设 △ = a + b + c + p + q + r + x + y + z + ▲。
p = λa ——①
q = λb ——②
r = λc ——③
p + x + ▲ = λ(a + z) ——④
q + y + ▲ = λ(b + x) ——⑤
r + z + ▲ = λ(c + y) ——⑥
a + b + p + x = △/(λ + 1) ——⑦
b + c + q + y = △/(λ + 1) ——⑧
c + a + r + z = △/(λ + 1) ——⑨
④+⑤+⑥，并以①，②，③代入
x + y + z + 3▲ = λ(x + y + z)
x + y + z = 3▲/(λ - 1) ——☆
⑦+⑧+⑨
a + b + c + △ - ▲ = 3△/(λ + 1)
a + b + c = (2 - λ)△/(λ + 1) + ▲ ——◎

△ = a + b + c + p + q + r + x + y + z + ▲
△ = (λ + 1)(a + b + c) + x + y + z + ▲
以☆，◎代入
△ = (2 - λ)△ + (λ + 1)▲ + 3▲/(λ - 1) + ▲
(λ - 1)△ = (λ^2 + λ + 1)▲/(λ - 1)
▲/△ = (λ - 1)^2 / (λ^2 + λ + 1)

dunwan2tellu

很久没有进来留言了。看到了 pipi 的题目就手痒

Q1) x = 30

解题思绪：
画多几条线来看看：
1)在 AD 上取 F 使到 AB = FB
2)在 BE 上取 F' 使到 AB // FF'
3)在 BE 上取 D' 使到 AB // DD'

试试证明:
1) ADF' 是等边三角形
2）DEF' 是等腰三角形 ，DF' = EF'

Q2) x = 20

画多几条线：
1）在 BE 上取 D' 使到 DD'// AB
2) 在 AB 上取 F 使到 CF 和 AB 垂直
3）CF 分别交叉 AE 和 DB 于 G 和 H。
4）AE 和 DB 交叉于 J

试证明：
1）三角形 AGH 和 CGE 全等
2）DED' 是等腰三角形 DD'= ED'
3）DHD' 是等边三角形

有人能完成上面的证明吗？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 26-8-2007 02:18 PM 编辑 ]

pipi

dunwan2tellu ，谢谢你的支持！
喜欢这个几何的朋友，请你试试吧！

我真的觉得这个问题真的很好玩！
可以将几何的概念，应用一并呈现出来。
而且，每个人的答案也呈现许多的不同的思路！
（有点像“蛋炒饭”的歌词：嘿！蛋炒饭，最简单，也最困难！）

以下网站有提供一些不错的提示：
http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/geoprob.pdf