紧急！Vector问题

無聊人

这是新加坡某一间中学的预考（prelim）试卷。
原文是英文，不过如果要我翻译成中文，我就不会了。
注：OB , 上面是有划箭头 （-->）

大家来试试看！

The diagram below shows a figure, whereby OP = 2p, OQ = 5q and lies on the straight line OA such that OP : PA = 1 : 3.



a. Given that AB = 2OQ, express in terms of p and/or q

   i) PQ.      ii) OA.     iii) OB.     iv) PB.


b. Given that RQ = hPQ, show that OR = 2hp + 5(1 - h)q


c. Given that RB = kOB, express OR in terms of p, q and k.


d. Using the expressions of OR in both parts (b) and (c), find the value of h and k.


e. Find the value of

   i) Area of triangle OQR / Area of triangle OQB.

   ii) Area of triangle OPR / Area of quadrilateral ABQO.

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e 的第二部分最难，你们会做吗？做法又如何呢？

[ Last edited by 無聊人 on 18-7-2004 at 12:52 PM ]

a. i) PQ = -OP + OQ
         = 5q - 2p

  ii) OA = OP + PA
         = OP + 3(OP)
         = 4(OP)
         = 8p

iii) OB = OA + AB
         = OA + 2(OQ)
         = 8p + 10q

  iv) PB = -OP + OB
         = 6p + 10q

b. RQ = hPQ
      = h(5q - 2p)
   OR = OQ - RQ
      = 5q - h(5q - 2p)
      = 2hp + 5(1 - h)q

c. RB = kOB
      = k(8p + 10q)
      = 8kp + 10kq
   OR = OB - RB
      = (8p + 10q) - (8kp + 10kq)
      = 8(1 - k)p + 10(1 - k)q
      = (1 - k)(8p + 10q)

d. 2hp + 5(1 - h)q = 8(1 - k)p + 10(1 - k)q
   2h = 8(1 - k)        => h + 4k = 4
   5(1 - h) = 10(1 - k) => 2k - h = 1
   故 h = 2/3, k = 5/6

[ Last edited by sinchee on 18-7-2004 at 05:25 PM ]

这里，我们用到一个定理：
等高三角形面积比 = 其底边比

e. i)  因为 RB / OB = k = 5/6,  RQ / PQ = h = 2/3
       因此 OR / OB = 1/6,      PR / RQ = 1/2
        Area of triangle OQR / Area of triangle OQB
      = OR / OB
      = 1/6

   ii)  Area of triangle OQB / Area of triangle OAB
      = OQ / AB
      = 1/2

        Area of triangle OQB / Area of quadrilateral ABQO
      = 1/3

        Area of triangle OPR / Area of triangle OQR
      = PR / RQ
      = 1/2

        Area of triangle OPR / Area of quadrilateral ABQO
      = (1/2) (1/6) (1/3)
      = 1/36

[ Last edited by sinchee on 18-7-2004 at 05:30 PM ]

無聊人

我们来对答案：


a. i) PQ = 5q - 2p         对
   你的答案是：5q - 2p

   ii) OA = 8p             对
   你的答案是：8p

   iii) OB = 8p + 10q      错
   你的答案是： 8p + 5q

   iv) PB = 6p + 10q       错
   你的答案是：6p + 5q

c. OR = 8(1 - k)p + 10(1 - k)q     错
   你的答案是：(1 - k)(8p + 5q)


d. h = 2/3     k = 5/6     错
   你的答案是： h = k = 4/5

e. i) 1/6                  错
   你的答案是：1/5

   ii) 1/36                错
   你的答案是：1/60

[ Last edited by 無聊人 on 18-7-2004 at 01:11 PM ]

死去活来！
哈！哈！哈！

sinchee只是运算失误。
面积题可尝试cross product.

办公室电脑无法登陆论坛，所以没能时常和大家交流，可惜！！！

無聊人

明白了！
谢谢……

pipi

sinchee, 计算错误。。。
你一定是要睡觉了。。。

活死人，欢迎回来！！！

[ Last edited by pipi on 18-7-2004 at 04:23 PM ]

不好意思！！不好意思！！不好意思！！
竟然这么简单的计算都做错！！


已经更改了，请多多包涵！！！！

铁蛋

活死人复活了！！！

無聊人

如果要用similar triangle的方法呢？