■ 统考题 ■

irohazaka

原帖由 Rei-NX 于 30-10-2008 02:08 PM 发表
今天终于考完统考了，虽然不知道成绩怎样~
但还是很兴奋，长大咯，哈哈~
我把这次统考的一些数学题放上来~
都是我不会的，尤其是高级数学~
给大家动动脑筋，玩一玩，解一解~ =w=

1. 若x轴是曲线y=x^2-mx^2+8x ...

2. 将一条6m长的电线切断并拼成15个正方形，由小到大顺序将它们排列~
若相邻两个正方形的周长之差为4cm，求最小正方形边长的长度~

这题答案是3cm，我不懂要用什么公式哦
可能是数列那章，我是用最蠢的方法想出来的
一个一个答案试，就可以了

3. 已知sinα=a及cosβ=b，且90度<α<180度及270度<β<360度~
求sin(α+β)，以a及b表示之。

你要用毕氏定理先找sinβ和cosα
然后就可以做了

sin(α+β)
=sinαcosβ+sinβcosα
=(a)(b)+[根号(1-b^2)][根号(1-a^2)]
=ab+{根号[(1-a^2)(1-b^2)]}


6. 证明 cos3A=4cos^3 A-3cosA

cos3A
=cos(2A+A)
=cos2AcosA-sin2AsinA
=(2(cosA)^2-1)cosA-(2sinAcosA)sinA
=2(cosA)^3-cosA-2(sinA)^2cosA
=2(cosA)^3-cosA-2(1-(cosA)^2)cosA
=2(cosA)^3-cosA-2cosA+2(cosA)^3
=4cos^3 A-3cosA    (得证)


10. 一条曲线 y=f(x) 经过一点 (-1,-4)~
若这条曲线上任一点的切线斜率是 3x^2-2x-1~
(a) 求该曲线方程式。
(b) 求该曲线驻点坐标。
(c) 验证极值点的特性。


(a) dy/dx = 3x^2-2x-1
      y=x^3-x^2-x+c
      点 (-1,-4)入y
      则c=-3
      曲线方程式 y=x^3-x^2-x-3

(b) dy/dx = 3x^2-2x-1
      令dy/dx=0
      3x^2-2x-1=0
      (3x+1)(x-1)=0
      x=-1/3  x=1

     当x=1,则y=-4
     当x=-1/3,则y=-76/27

     所以二驻点为(1,-4),(-1/3,-76/27)

(c)  d^2y/dx^2 = 6x-2
       x=1 入d^2y/dx^2 则=4>0  (极小值)
       x=-1/3 入d^2y/dx^2 则=-4<0   (极大值)

    当x=1时有极小值，值为-4
    当x=-1/3时有极大值，值为-76/27



小弟只会这几题，其他都不懂对没有~

mathlim

原帖由 Rei-NX 于 30-10-2008 02:08 PM 发表
1. 若x轴是曲线y=x^2-mx^2+8x+3的切线，求m的值。

x 轴是曲线 y = x&sup2; - mx&sup2; + 8x + 3 的切线，
所以曲线与x轴只有一个交点。
由 △ = 0 得
8&sup2; - 4×(1-m)×3 = 0
16 - 3 + 3m = 0
m = - 13/3

朗木寺

原帖由 mathlim 于 22-10-2008 09:46 AM 发表


排列数 = 总排列数 - 甲在第一位置且乙在最后一个位置的排列数
              = 6! - 4! =  696
A = {甲在第一位置}，B = {乙在最后一个位置}
A' = {甲不在第一位置}，B' = {乙不在最后一个位置}
A' ∪ B' = ...

答案是504，不是696。若把甲，乙排位的情况列出来，有

1、 甲。。。。。乙（甲在第一位置且乙在最后一个位置）

2、甲。。乙。。。（甲排第一位，乙排在中间的位置，不排最后一位）

3、。。甲。。。乙（甲排在中间的位置，不排第一位，乙排最后一位）

4、。。甲。乙。。（甲和乙排在中间的位置，不排两端）

5、乙。。甲。。。（乙排在第一位，甲排中间位置，不排最后一位）

6、。。乙。。。甲（甲排在最后一位，乙排中间的位置，不排第一位）

7、乙。。。。。甲（乙在第一位且甲在最后一位）

以上7种情况互不重叠，按照题意“甲排第一位或乙排最后一位”
第1，2，3情况均可接受，应排除4，5，6，7。

若    排列数 = 总排列数 - 甲在第一位置且乙在最后一个位置的排列数
                      = 6! - 4! =  696

则扣除了第1个情况，纳入2，3，4，5，6，7的情况，显然是错误的。

mathlim

依题意，
你列出的7种情况，
只有第一种情况不符合，
其他情况是允许的。
所以答案是6! - 4! = 696。

题意是：甲不在第一个位置或者乙不在最后一个位置。
和你说的题意不一样啊！

朗木寺

哎呀！是我搞錯了，我一直以為題目是“甲在第一個位置，或乙在最后一個位置”
它原是統考題選擇題，答案確實是504，沒想到題目稍微改了一下。不好意思！

mathlim

原帖由 朗木寺 于 11-11-2008 11:05 PM 发表
哎呀！是我搞錯了，我一直以為題目是“甲在第一個位置，或乙在最后一個位置”
它原是統考題選擇題，答案確實是504，沒想到題目稍微改了一下。不好意思！

它的确是统考的选择题，题目并没有改。
如果是“甲在第一個位置，或乙在最后一個位置”，
那么答案应该是5! + 5! - 4! = 216。

朗木寺

真好笑，我看错题目，且用之前错误的方法来做，真是错中有错。

mathlim

没关系！难得糊涂嘛！

shingrons

今年统考难度似乎又下降了...

mathlim

也许今年只是一个转向点。