怎样画 x^y = y^x

pipi

微中子 于 10-5-2004 08:44 PM  说 :


不过还是可以找到y = x^c的那个c吧?

我是要简化logx y 所以故意让y=x^c.

我想,在题目所给的条件里,
logx y 总该有个值吧?


补充: 就是我让每一点的(x,y)换成(x,x^c),c 算是parameter

[ Last e ...

明白了。。。
我只是证明它的存在及图的形状，不过你却将它所有的点找出来。。。
还是你厉害！！

[ Last edited by pipi on 11-5-2004 at 09:02 AM ]

pipi

5^sqrt(7) 与 7^sqrt(5)

不用计算机，比较它们的大小。

pipi

微中子 于 10-5-2004 08:44 PM  说 :


不过还是可以找到y = x^c的那个c吧?

我是要简化logx y 所以故意让y=x^c.

我想,在题目所给的条件里,
logx y 总该有个值吧?


补充: 就是我让每一点的(x,y)换成(x,x^c),c 算是parameter

[ Last e ...

设 y = cx, 也可以得到答案。。。

微中子

pipi 于 11-5-2004 04:20 PM  说 :


设 y = cx, 也可以得到答案。。。

哈哈..也可以,
没有想到这里.

5^sqrt(7) 与 7^sqrt(5)

不用计算机，比较它们的大小。

这一题
我的解法很长.
又用到一些的calculus和series.
所以,有谁有很好的方法,
就先回答吧!

pipi

5^sqrt(7) 与 7^sqrt(5)

不用计算机，比较它们的大小。

微中子 于 12-5-2004 11:13 AM  说 :
这一题
我的解法很长.
又用到一些的calculus和series.
所以,有谁有很好的方法,
就先回答吧!

微兄，若下个礼拜一，仍没有人提供答案，你来答，如何？

各位在看这贴子的，来玩玩嘛

5^sqrt(7) 与

{7^sqrt(5)}^sqrt(5)= 7^5

{5^sqrt(7)}^sqrt(5) < 5^6

then you can easily show which is bigger.....

[ Last edited by Eggman on 21-5-2004 at 08:27 PM ]

微中子

不好意思,我放出来了.
----------------------------------------------------

考虑e^2 = 1 + 2 + (2^2)/2 + (2^3)/6 + (2^4)/24 + R, R>0
    = 1 + 2 + 2 + 4/3 + 1/3 + R
    = 7 + R > 7 > 5

e > sqrt(7) > sqrt(5)

---

考虑
a = sqrt(5) ^ sqrt(7)
b = sqrt(7) ^ sqrt(5)

ln a = sqrt(7) ln (sqrt(5))
ln b = sqrt(5) ln (sqrt(7))

ln ln a = ln sqrt(7) + ln ln (sqrt(5))
ln ln b = ln sqrt(5) + ln ln (sqrt(7))

---

当0 <y < x < 1,
(ln x - ln y)/(x-y) = 1/c > 1
ln x - ln y > x - y

考虑ln ln a - ln ln b = ln sqrt(7) - ln sqrt(5) - ln ln sqrt(7) + ln ln sqrt(5)
= (ln sqrt(7) - ln sqrt(5)) - (ln ln sqrt(7) - ln ln sqrt(5)) < 0
因为 ln sqrt(5) < ln sqrt(7) < 1

=> ln a < ln b
=>  a < b

因为a >0 , b>0
a^2 < b^2
5^sqrt(7) < 7^sqrt(5)

---------

不懂有没有错.

eggman网友不妨解释你的答案吧..不然恐怕没有很多很懂你写什么

flyingfish

我猜eggman网友的意思是
{5^sqrt(7)}^sqrt(5) =5^sqrt(35)< 5^6
然后真正乘出7^5和5^6来比较大小。。

微中子

flyingfish 于 22-5-2004 12:22 AM  说 :
我猜eggman网友的意思是
{5^sqrt(7)}^sqrt(5) =5^sqrt(35)< 5^6
然后真正乘出7^5和5^6来比较大小。。

看来飞鱼兄已经帮他解释了.

pipi

我的方法：

设 f(x) = (ln(x))/sqrt(x)
所以 f '(x) = (2-ln(x))/(2x^(3/2))
     f '(x) > 0 <=> x < e^2  --------------(1)
（我们知道 e ≈ 2.718, 所以 e^2 > 7 ）
式子(1) 代表 当 0 < a < b < e^2, f(a) < f(b)
所以 f(5) < f(7)
即 ln(5)/sqrt(7) < ln(7)/sqrt(5)
   ...
   7^sqrt(5) > 5^sqrt(7)

证毕。

pipi

Eggman 于 19-5-2004 01:10 PM  说 :
5^sqrt(7) 与

{7^sqrt(5)}^sqrt(5)= 7^5

{5^sqrt(7)}^sqrt(5) < 5^6

then you can easily show which is bigger.....

[ Last edited by Eggman on 21-5-2004 at 08:27 PM ]

我喜欢这个方法。。。
Eggman, 你太有型了。。。

pipi

载自 强的 数字的特征 (http://chinese.cari.com.my/myfor ... 124374&fpage=1)
http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html

16 is the only number of the form x＾y=y＾x with x and y different integers.

没想到 16 也与 x^y = y^x 打交道。。。

[ Last edited by pipi on 24-5-2004 at 01:14 PM ]

pipi

x^y = y^x 的图已经贴出来了。
各位网友，有兴趣画 x^sqrt(y) = y^sqrt(x) 吗？
方法是大同小yi。

pipi

pipi 于 11-5-2004 09:11 AM  说 :
5^sqrt(7) 与 7^sqrt(5)

不用计算机，比较它们的大小。

另一证明：（需用到 7^5 > 5^6）
7 > 5^(6/5) = 5^(1.2) = 5^sqrt(1.44) > 5^sqrt(1.4) = 5^sqrt(7/5)
所以 7^sqrt(5) > 5^sqrt(7)

pipi

在图书馆翻看一些数学杂志遇见一篇相关的文章。
来自

Marta sved, On the rational solutions of x^y = y^x, Mathematics Magazine, vol 63, No. 1 (1990), 30-33.

[ Last edited by pipi on 10-10-2004 at 08:24 AM ]

pipi

又看见相关的文章。（个人认为这文章写得很好！！！）
Michael A. Bennett and Bruce Reznick，
Positive Rational Solutions to x^y = y^(mx) : A Number-Theoretic Excursion, American Mathematical Monthly, January 2004.