■ 余式定理 ■

mathlim

已知：
f(x) 除以 x^2 - 2x - 3 得余式 x + 2，
f(x) 除以 x^2 - 3x - 4 得余式 x + 4。
试求：
f(x) 除以 x^2 - 7x + 12 所得的余式。

jinqwem

3X - 4....
先从F(X) = (X-3)(X+1)Q(X) +X+2 求出F(X)/(X-3)的余,
然后从F(X) = (X-4)(X+1)R(X) +X+4求出F(X)/(X-4)的余
然后用F(X) = (X-3)(X-4)P(X) + AX + B 来求A和B的值...

mathlim

有没有留意到题目有什么问题吗？

多普勒效应

嗯, 问题就在于 他们刚好都有 (x + 1)这个公因式
f(x) 除以 x² - 2x - 3 得余式 x + 2 ==> f(-1) = 1
               f(x) 除以 x² - 3x - 4 得余式 x + 4 ==> f(-1) = 3
这两个就造成矛盾了

mathlim

已知：
f(x) 除以 x^2 - 2x - 3 得余式 x + 2，
f(x) 除以 x^2 - 3x - 4 得余式 x + 4。
试求：
f(x) 除以 x^2 - 7x + 12 所得的余式。


这道题目在解题过程中，
没有用到条件f(-1)，
所以就似乎没有问题。
如果是求f(x) 除以 (x + 1)(x - 2)(x - 3) 所得的余式，
那么用不同的条件，
就会有不同的答案了！
f(-1) = 1 或 f(-1) = 3。

mathlim

问题：
求一个一元二次多项式 f(x) 使得
f(x) 除以 x - 2 得余数 4，
f(x) 除以 x - 3 得余数 4，
且 f(x) 被 x - 1 整除。

[ 本帖最后由 mathlim 于 7-9-2007 12:23 AM 编辑 ]

jinqwem

-2X^2 +10X-8,??

[ 本帖最后由 jinqwem 于 6-9-2007 08:34 PM 编辑 ]

mathlim

我要知道的是做法！

TCLGT

原帖由 mathlim 于 6-9-2007 01:57 PM 发表
问题：
求一个一元二次多项式 f(x) 使得
f(x) 除以 x - 2 得余数 4，
f(x) 除以 x - 3 得余式 4，
且 f(x) 被 x - 1 整除。

f(x) 是一元二次多项式，
让f(x)= ax^2+bx+c

f(x) 除以 x - 2 得余数 4，
所以f(2)= a(2)^2+b(2)+c=4-----(1)

f(x) 除以 x - 3 得余式 4，
所以f(3)= a(3)^2+b(3)+c=4-----(2)

f(x) 被 x - 1 整除。
所以f(1)= a(1)^2+b(1)+c=0-----(3)

解出来的答案 a=-2 b=10 c=-8
f(x)= -2x^2+10x-8

mathlim

有没有其他的做法呢？

多普勒效应

我的做法:

设 f(x) = k(x - 2)(x - 3) + 4

f(1) = 0
2k + 4 = 0
k = -2

所以 f(x) = -2(x - 2)(x - 3) + 4
     f(x) = -2x^2 + 10x - 8

jhwong_alen

f(x)=Q(x)(x-2)+4...1
f(x)=(x-3)P(x)+4...2
f(x)=R(x)(x-1).....3

compare 1 and 2
Q(x) almost equal to (x-3)
P(x) almost equal to (x-2)

f(x)=nP(x)Q(x)+4
    =n(x^2 - 5x + 6) +4

from 3
f(1)=0
f(1)=n(1-5+6)+4
   0=2n+4
   n=-4/2
    =-2
f(x)=-2(x^2 - 5x +6) +4
    =-2x^2 + 10x -12 +4
    =-2x^2 + 10x -8

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 7-9-2007 01:19 PM 发表
f(x)=Q(x)(x-2)+4...1
f(x)=(x-3)P(x)+4...2
f(x)=R(x)(x-1).....3

compare 1 and 2
Q(x) almost equal to (x-3)
P(x) almost equal to (x-2)

f(x)=nP(x)Q(x)+4
    =n(x^2 - 5x + 6) +4
from 3 ...

你做的太复杂了！
基本上就是多普勒效应的方法。

mathlim

问题：
求一个一元二次多项式 f(x) 使得
f(x) 除以 x - 2 得余数 4，
f(x) 除以 x - 3 得余数 4，
且 f(x) 被 x - 1 整除。

这道题一般上有三种作法：
①
设 f(x) = ax² + bx + c，
由 f(2) = f(3) = 4，f(1) = 0 得
4a + 2b + c = 4 —— (1)
9a + 3b + c = 4 —— (2)
a + b + c = 0 —— (3)

②
∵ f(1) = 0
设 f(x) = (x - 1)(ax + b)，
由 f(2) = f(3) = 4 得
2a + b = 4 —— (1)
2(3a + b) = 4 —— (2)

③
∵ f(2) = f(3) = 4
设 f(x) = a(x - 2)(x - 3) + 4，
由 f(1) = 0 得
2a + 4 = 0

多普勒效应充分掌握了余式定理的应用！

mathlim

再来一个真正的考验：

求一个一元二次多项式 f(x) 使得
f(x) 除以 x - 2 得余数 3，
f(x) 除以 x - 3 得余数 -1，
f(x) 除以 x + 1 得余数 4。

多普勒效应

我的做法 ^^

可设   f(x) = a(x - 2)(x - 3) + b(x - 2) + 3

由条件,
       f(3) = -1  ==> b + 3 = -1  
                  ==> b = -4
另外,
       f(-1)= 4   ==> 12a - 4(-3)+ 3 = 4
                  ==> a = -11/12

因此   f(x) = -11/12*(x - 2)(x - 3) - 4(x - 2) + 3
展开得 f(x) = (-x^2 + 7x + 66)/12



方法有一点长 >.<

[ 本帖最后由 多普勒效应 于 7-9-2007 05:37 PM 编辑 ]

mathlim

求一个一元二次多项式 f(x) 使得
f(x) 除以 x - 2 得余数 3，
f(x) 除以 x - 3 得余数 -1，
f(x) 除以 x + 1 得余数 4。

这是我以前的做法：
①
∵ f(2) = 3
设 f(x) = (x - 2)(ax + b) + 3，
由 f(3) = -1，f(-1) = 4 得
3a + b + 3 = -1 —— (1)
-3(-a + b) + 3 = 4 —— (2)

②
∵ f(3) = -1
设 f(x) = (x - 3)(ax + b) - 1，
由 f(2) = 3，f(-1) = 4 得
-(2a + b) - 1 = 3 —— (1)
-4(-a + b) - 1 = 4 —— (2)

③
∵ f(-1) = 4
设 f(x) = (x + 1)(ax + b) + 4，
由 f(2) = 3，f(3) = -1 得
3(2a + b) + 4 = 3 —— (1)
4(3a + b) + 4 = -1 —— (2)

mathlim

这是我最近想到的做法：
①
∵ f(2) = 3，f(3) = -1
设 f(x) = a(x - 2)(x - 3) - 4x + 11，
由 f(-1) = 4 得
12a + 15 = 4

②
∵ f(2) = 3，f(-1) = 4
设 f(x) = a(x - 2)(x + 1) - x/3 + 11/3，
由 f(3) = -1 得
4a + 8/3 = -1

③
∵ f(3) = -1，f(-1) = 4
设 f(x) = a(x - 3)(x + 1) - 5x/4 + 11/4，
由 f(2) = 3 得
- 3a + 1/4 = 3