■ 体积与表面积，面积与周长 ■

mathlim · 发表于 3-9-2007 11:22 PM

体积的微分是不是表面积？
面积的微分是不是周长？
比如：

球体的体积 V = (4/3)πr³,
球体的表面积 S = 4πr²。
而 dV/dr = S。

圆的面积 A = πr²,
圆的周长 C = 2πr。
而 dA/dr = C。

flash · 发表于 4-9-2007 07:39 PM

不是所有都是这样，如立方体的体积是 x＾3，但表面积却不是 3x＾2

mathlim · 发表于 5-9-2007 12:34 AM

那么球体和圆的情况是巧合咯？

yaahoo · 发表于 5-9-2007 11:25 PM

曾经有人跟我说那不是巧合，而是一个很美的结果。大家不妨想想看，除了圆和球体还有没有其他的图形有如此的关系?

mathlim · 发表于 6-9-2007 07:23 AM

那么我今天也告诉你吧！
这不是什么完美的结果，
积分的意义正是如此。
不是因为球体或圆，
是完美的几何体或形，
才有如此完美的结果。
正方形、正方体都有这个结果。
这是我多年前第一个想要发表的研究，
可是一直没有整理。
这是我第一次选择在这里透露哦！

yaahoo · 发表于 13-9-2007 11:15 PM

听起来挺有趣的；有空整理的话，愿闻其详。

借此机会，让我再为数学传播季刊宣传一下。

http://www.math.sinica.edu.tw/media/default.jsp

多普勒效应 · 发表于 13-9-2007 11:47 PM

原帖由 mathlim 于 6-9-2007 07:23 AM 发表
那么我今天也告诉你吧！
这不是什么完美的结果，
积分的意义正是如此。
不是因为球体或圆，
是完美的几何体或形，
才有如此完美的结果。
正方形、正方体都有这个结果。
这是我多年前第一个想要发表的研究 ...

愿闻其祥

哈哈,数学有许多的结果就是很完美的吧.

请问是有关Green和Stoke's的吗?

mathlim · 发表于 14-9-2007 03:23 PM

原帖由 多普勒效应 于 13-9-2007 11:47 PM 发表
愿闻其祥
哈哈,数学有许多的结果就是很完美的吧.
请问是有关Green和Stoke's的吗?

你们懂的东西真多！
我上网查，
才知道Green和Stoke公式！
我懂的只有中学的程度。

yaahoo · 发表于 14-9-2007 10:14 PM

我喜欢一个比喻，我们所懂得的就是像是圆的内部，当圆越来越大时，所接触的不懂也越多。当我在图书馆看到代数统计学时，感觉实在渺小到不行了

；竟然有这样的科目，而且一面都看不懂。

然而反过来看，认识到自己无法懂得一切，反而更能专注于自己能懂和该懂的；未尝不是好事！

[ 本帖最后由 yaahoo 于 14-9-2007 10:16 PM 编辑 ]

chan1314 · 发表于 18-9-2007 12:53 PM

我也想过这个问题，但是没去深研。
得空我试试看。

chan1314 · 发表于 18-9-2007 01:32 PM

乱来的，
在 spherical coordinate system ,
volume dv = triple integrate 1 . r^2dr sin (tita) d(tita) d (phine)
然后从这里就拿到 4/3(pi)r^3

int (div. F )dv = int (F).ds
把div 拿出来，
par (int ( F) dv) / par r = int (F).ds

从上面已经prove 了 int (F) dv 是4/3 pi r^3
然后现在 par ( 4/3 pi r^3 ) /par r = surface
那么就拿到答案了。

mathlim · 发表于 8-8-2008 08:43 AM

无限的天空 · 发表于 8-8-2008 06:45 PM

两个都可以。。所的答案是一样的。

yaahoo · 发表于 9-8-2008 01:46 AM

哈哈

我把它叫做卫生纸方法。

mathlim · 发表于 9-8-2008 07:19 AM

好像大多数人叫洋葱皮的方法，一层一层的。

mathlim · 发表于 11-8-2008 04:36 PM

再看一个例题：

多普勒效应 · 发表于 11-8-2008 06:04 PM

洗耳恭听

mathlim · 发表于 12-8-2008 11:10 AM

从上述几个例子，
我有理由相信周长可以积分得面积，
表面积可以积分得体积，
但是必须适当处理。
我不再卖关子了，
在这里与大家分享我的想法。
由于绘图麻烦，
我就省了。
我想以各位的聪明才智，
应该是可以理解的。

mathlim · 发表于 12-8-2008 11:20 AM

球体的体积：V = (4/3)πr³
球体的表面积：S = 4πr²
dV/dr = S

圆的面积：A = πr²
圆的周长：C = 2πr
dA/dr = C

球体与圆都有中心。
我们也把正立方体与正方形的中心，
摆在坐标原点的位置。

正立方体的体积：V = (2a)³ = 8a³
正立方体的表面积：S = 6×(2a)² = 24a²
dV/da = 8×3a² = 24a² = S

正方形的面积：A = (2a)² = 4a²
正方形的周长：C = 4×2a = 8a
dA/da = 4×2a = 8a = C

大家有什么看法或意见呢？
请多多指教。

[ 本帖最后由 mathlim 于 7-10-2008 08:52 AM 编辑 ]

mathlim · 发表于 12-2-2009 12:19 AM

椭圆方程：x²/a² + y²/b² = 1

椭圆的面积绕x轴旋转一周所得旋转体的体积：(4/3)πab²

椭圆的面积绕y轴旋转一周所得旋转体的体积：(4/3)πa²b

椭圆面积：πab

那么，上述两种旋转体的表面积及椭圆的周长分别为何呢？

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