Area between 2 lines 的问题

lyt87

Find area enclosed by the parabola y1=2-x^2 and the line y2=-x

看似简单的问题，但我有地方不明白，

integrate from x=-1 to x=2,

int ( y1 - y2) dx,

这样就找到了， 但 integrate 不是找 area under the graph to axis 吗？那么 negative side 的要如何consider？
因为在 x=1 和 x=2 之间，y1 的 area 是在both positive 和 negative side.

img3nius

如果有negetive和positive的
那要分开找
比方说 x = 1 to x = 2 是在 positive 而 x = 2 to x = 3 是在 negative
那你要找 integrat x = 1 to x = 2 再加上 x = 2 to x = 3 的 area

mathlim

#2讲的跟#1的情况不一样！
#1的题目，直接积分就可以了，不需要分成两个部分。

mathlim

中国人把Culculus翻译成‘微积分’，
实在是很有意思。
这个微积，不是危机。
微就是分割成微小的部分，
积就是把这些部分累积起来。
很早的时候，
中国人就懂得用这个方法，
把圆分割成很多个部分，
把这些部分重新组合，
累积起来形成一个长方形，
从而求得圆的面积。

mathlim

我们都知道，不定积分是微分的反运算。
微分符号是dy/dx。
因为dy/dx是当△x→0时，△y/△x的极限。
那么，为什么积分符号是∫f(x)dx呢？
这就要从定积分来说明了。
利用积分求面积，
是把不规则图形分割成很多个长方形。
再把这些长方形的面积累积起来。
求极限就可得不规则图形的面积了！
     a
A = ∫ ydx
     b
A:面积
y:长方形的长
dx:长方形的宽
当△x→0，△x→dx
ydx = 长×宽，即长方形的面积。
∫就是∑，当n→∞时。
     a
A = ∫ ydx
     b
的意思就是把长方形的面积累积起来，从x=a至x=b。

mathlim

我只说明
     a                  c
A = ∫ ydx 的情况。A = ∫ xdy 的情况同理。
     b                  d
长方形的宽是△x=xn-xn-1=xn-1-xn-2=... ...=x2-x1=x1-x0
当△x→0时,既是dx。
长方形的长是y2-y1。
当函数只有一个时，
我们求它与x轴所围成的面积，
其实此时y1=0，
所以长=y2-y1=y-0=y。
我们求长的时候，是上减下。
如果函数图在x轴下方，
则y2=0,
所以长=y2-y1=0-y=-y。
                             a
∴两条曲线所围成的面积是A = ∫ (y2-y1)dx。
                             b
其中当a≤x≤b,y2≥y1。

jhwong_alen

原帖由 mathlim 于 1-9-2007 03:54 PM 发表
我只说明
     a                  c
A = ∫ ydx 的情况。A = ∫ xdy 的情况同理。
     b                  d
长方形的宽是△x=xn-xn-1=xn-1-xn-2=... ...=x2-x1=x1-x0
当△x→0时,既是dx。
长方形的长 ...

在学校只知道死背formula...完全不懂它的来历。。平时遇到有modulus要把graf分割的就不太会做。。
现在大概会了。。经你解释后明白多了。。谢谢哦。。。

lyt87

我还是不明白，为什么， #1 的不用

mathlim

mathlim

lyt87

就是说，只要当ｙ１－ｙ２　大过／等于　０，　就可以了，是吗？

mathlim

原帖由 lyt87 于 2-9-2007 01:58 PM 发表
就是说，只要当ｙ１－ｙ２　大过／等于　０，　就可以了，是吗？

是的！
如果有的区间，y1 ≥ y2，
而有的区间，y1 ≤ y2，
那么就得分段积分。

lyt87

那么，像下列的问题， 不画出来，要怎么解？
the region bounded between y=0.5 (sec x)^2 , y = -4 ( sin x )^2 , x=-pi/3 and x=pi/3

mathlim

原帖由 lyt87 于 8-9-2007 12:21 AM 发表
那么，像下列的问题， 不画出来，要怎么解？
the region bounded between y=0.5 (sec x)^2 , y = -4 ( sin x )^2 , x=-pi/3 and x=pi/3

0.5sec²x = -4sin²x
无解！即二曲线无交点。
0.5sec&sup2;x 〉-4sin&sup2;x，-π/3 x < π/3

      π/3
A = ∫( 0.5sec&sup2;x + 4sin&sup2;x )dx
     -π/3

jhwong_alen

原帖由 mathlim 于 8-9-2007 12:39 AM 发表


0.5sec&sup2;x = -4sin&sup2;x
无解！即二曲线无交点。
0.5sec&sup2;x 〉-4sin&sup2;x，-π/3 x < π/3

      π/3
A = ∫( 0.5sec&sup2;x + 4sin&sup2;x )dx
     -π/3

能画 sec^2 和sin^2 的graf 吗？？我想知道我画对还是错。。

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 8-9-2007 12:58 AM 发表
能画 sec^2 和sin^2 的graf 吗？？我想知道我画对还是错。。

画图要花费很多功夫叻！
用描点法，再加上函数的这增减性来处理嘛！
如果真的需要我画的话，
我再画给你看吧！

lyt87

就是说， 假如像那题，先找intersection point. 在看y1-y2是否 >0,
>0 的部分，就用 int  y1-y2,
<0 的部分，就用 int  y2-y1

假如 y=x, y= 0.25x, y =1
就看这3个的intersection point 和大概看他的个人graph怎样，对吗？

mathlim

原帖由 lyt87 于 8-9-2007 10:29 AM 发表
就是说， 假如像那题，先找intersection point. 在看y1-y2是否 >0,
>0 的部分，就用 int  y1-y2,
<0 的部分，就用 int  y2-y1
假如 y=x, y= 0.25x, y =1
就看这3个的intersection point 和大概看他的个人graph怎样，对吗？

是的！你这道题如下做更好，不用分两个区间做。

     d
A = ∫ (x1 - x2)dy
     c

lyt87

谢谢！mathlim
假如是
y1 = 4 - x^2
y2 = 2-x
x = -2 , x = -3
这个就要分３part 来做　对吗？
因为有两个intersection point

mathlim

原帖由 lyt87 于 8-9-2007 01:35 PM 发表
假如是
y1 = 4 - x^2
y2 = 2-x
x = -2 , x = -3
这个就要分３part 来做　对吗？
因为有两个intersection point

这个题目，
要计算的是被四条曲线
(y1 = 4 - x&sup2;，y2 = 2-x，x = -2，x = -3)
所围成的面积。
只被其中两条曲线围成的部分不算。
     -2
A = ∫ (y2 - y1)dy
     -3