二项式定理问题

MasterSin

证明(1+X)^2n的展开式的中间一项是
{[1*3*5......(2n-1)](2x)^n}/n!
谢谢~!

dunwan2tellu

他的系数应该是 2n C n = (2n!)/(n!n!)

不过我怎么看都不是 {[1*3*5......(2n-1)](2x)^n}/n!

kee020041

(2n)!/(n!n!)  =       ( 2n * 2n-2 * 2n - 4 * ......)              *  (2n-1 * 2n-3 *  * 2n-5 .......)    / (n!n!)
              = {  [2(n)  * 2(n-1) * 2(n-2) * ....2(2) * 2(1)]    *    [1*3*5......(2n-1)]            } / (n!n!)
              = {  2^n * [1*2*3*.....n]                           *    [1*3*5......(2n-1)]            } / (n!n!)
              = {  2^n * [n!]                                     *    [1*3*5......(2n-1)]            } / (n!n!)
              = {    [1*3*5......(2n-1)]  (2x)^n  }   / n!

kee020041

( 1 + X）^m    = sum { (m C i) X^i} for i = 0 to m
m C i = m! / {  (m-i)! * i! }

(1+X)^2n的展开式的中间一项的系数 = X^n 的系数
X^n 的系数 = m C i ,   m = 2n , i = n
           = 2n C n
           = (2n)! / {(2n-n)! n!}
           = (2n)! / ( n! n! )
          =  帖 #3 的答案。

MasterSin

请问如何把(2n-1 * 2n-3 *  * 2n-5 .......)演变成[1*3*5......(2n-1)]?

kee020041

哈哈！
对不起， 我应该写清楚一点。
(2n)! = (2n) * (2n-1) * (2n-2) * (2n-3) * (2n-4) * (2n-5) *  .......6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1           

重新排过，分成双数和单数。

(2n)! = { (2n) * (2n-2) * (2n-4) * ...* 6 * 4 * 2 } * { (2n-1) * (2n-3) * (2n-5) * ... * 5 * 3 * 1}


( 2n-1 * 2n-3 *  * 2n-5 .......) 是 {（2n-1） * (2n-3) * (2n-5) * ..... (5) * (3) * (1) }
反过来写， 就变成：[1*3*5...*(2n-5)*(2n-3)*(2n-1)]

MasterSin

终于明白了，谢谢你kee兄.