数学比赛常出题目

lavendar_o5

我发现很多数学比赛题目，都有类似这样的:

1) 找出2^2005, 3^2007最后一个digit是什么

2) 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17x 18 x 19 x 20 有多少个0

究竟这种题目应如何解决呢？

dunwan2tellu

要知道某数的末尾数的话，不得不看看他的 pattern , 你会发现他们的 power 每 4 次就重复。

i.e 3^0 = 1 ,3^1 = 3 , 3^2 = 9 , 3^3 = 27 , 3^4 = 81 , 3^5 = 243

末尾数分别是 1,3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7 ....

其他number也有相同特征。

2)要知道几个 0 ,就等于要知道有几个 10 .但是 10 = 5 x 2 .所以你要看在 11 x 12 x ... x 20 有几个 5 的factor就可以了（因为 2 的 factor 回过剩的）

wonglingyit

但是，第二题的解法并没有包括 中间的 0 啊？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 15-9-2006 01:02 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

我们无法知道中间有几个 0 .只能知道后面有几个。

hahaha888

第二题很容易·！

按计算机！！

lavendar_o5

想知道一下，看後面多少個0，是不是一定是看5的FACTOR的？還是不明白爲什麽用2會過剩。。。望您能解釋

這裏有一題：115 x 175 x 196 x 2，只有兩個5的factor，但有三個0

[ 本帖最后由 lavendar_o5 于 3-11-2006 11:53 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 3-11-2006 11:45 PM 发表
想知道一下，看後面多少個0，是不是一定是看5的FACTOR的？還是不明白爲什麽用2會過剩。。。望您能解釋

這裏有一題：115 x 175 x 196 x 2，只有兩個5的factor，但有三個0

115 = 5 x 23
175 = 5 x 5 x 7
196 = 2x2x7x7
2 = 2

所以总共有 3 个 5 和 3 个 2 . 凑起来不就是 3 个 10 吗？也就是说它的“尾巴”有3 个 0

lavendar_o5

还有一题：4个不同的Natural Number，它的积(product)等于6226，请找出4个号码“最大”的和。这种题目应该如何解答？

~Lucifer~

我的答案是283x11x2x1。最大的合是283+11+2+1=297。不知道对吗？小弟我的数学很糟的

lavendar_o5

原帖由 ~Lucifer~ 于 9-11-2006 08:51 PM 发表
我的答案是283x11x2x1。最大的合是283+11+2+1=297。不知道对吗？小弟我的数学很糟的

我发觉6226的Factors有{1, 2, 11, 22, 283, 566, 3113, 6226}
所以不管怎么写：
1)  6226 = 3113 x 2 x 1 x 1 = 283 x 11 x 2 x 1
2)  6226 = 566 x 11 x 1 = 283 x 2 x 11 x 1
3)  6226 = 283 x 22 x 1 = 283 x 2 x 11 x 1
4)  6226 = 2 x 3113 = 2 x 11 x 283 x 1

所以应该对吧。我也是这样算。哈哈，希望其他高手可以证实一下对否

shingrons

更难的我记得有看十位是什么数字....不过不懂在那里了
谁看过可以给出些例子的？

lavendar_o5

原帖由 shingrons 于 10-11-2006 12:23 AM 发表
更难的我记得有看十位是什么数字....不过不懂在那里了
谁看过可以给出些例子的？

有这种方法啊。。。我也想知道知道
希望知道的人可以告之

shingrons

我记得是证明题来的
是要证明十位数是8
唉，忘记了
找到在放上来吧

lavendar_o5

还有一题：
李先生在黑板上写了由Positive Integers组成的数列: 1, 2, 3, ... , 写完之后，李先生将其中一个数字擦掉，剩下来的数字的平均数为10.8，请问他擦了什么数字？

flash

原帖由 lavendar_o5 于 10-11-2006 06:26 PM 发表
还有一题：
李先生在黑板上写了由Positive Integers组成的数列: 1, 2, 3, ... , 写完之后，李先生将其中一个数字擦掉，剩下来的数字的平均数为10.8，请问他擦了什么数字？

他应该是擦了 15 。。。

lavendar_o5

没错，怎么算？？？？

shingrons

假设写到第n项，擦掉第k项
从平均值=10.8，可以知道20<n<22
从而n=21
级数求和=231
(231-k)/20=10.8
k=15

shingrons

原帖由 dunwan2tellu 于 19-8-2006 04:34 PM 发表
要知道某数的末尾数的话，不得不看看他的 pattern , 你会发现他们的 power 每 4 次就重复。

i.e 3^0 = 1 ,3^1 = 3 , 3^2 = 9 , 3^3 = 27 , 3^4 = 81 , 3^5 = 243

末尾数分别是 1,3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7 .. ...

请教dunwan2tellu
要深入研究是不是关系到mod模？
我才高二罢了....明年好像才上...

lavendar_o5

原帖由 shingrons 于 11-11-2006 10:21 AM 发表
假设写到第n项，擦掉第k项
从平均值=10.8，可以知道20<n<22
从而n=21
级数求和=231
(231-k)/20=10.8
k=15

如何得知？

shingrons

错了错了,sry

从平均值=10.8，可以知道n只有两种可能：20或21
不可能是19或以下的原因是擦掉后的平均值最大只有10.5或以下
不可能是22或以上的原因是擦掉后的平均值最小只有11或以上

10.8=54/5
擦掉后的平均值的式子分母为n-1
易知n-1是5的倍数
验证n=21,k为1到n之间的整数
于是得到答案