数学难题

各位大大，可以帮忙解答以下的题目吗？

1. Let x be an integer. What is the smallest possible value of

|2x - 7| + |2x - 9| + |2x - 11| + |2x - 13| + |2x - 15|?



2. Determine the number of real solutions of
|x/2| + |2x/3| = x



3. There are eight distinct integers. If seven of the eight integers are added, the possible sums are: 35, 39, 40, 42, 43, 44, 46, 47.

What is the sum of the eight integers?



4. How many ordered triples (p,q,r) of positive integers are there for which

lcm (p,q) = 2000, lcm (q,r) = 10000, lcm (r,p) = 2500?



5. A pack of 5 distinct cards is shulffled randomly. Let p be the probability that at least one of the cards remains at the same place after the shuffle. Find the value of 240 x p.



6. What is the remainder when 6^273 + 8^273 is divided by 49?



7. Find the largest positive integer n such that n! can be expressed as the product of n-4 consecutive positive integers.



谢谢

dunwan2tellu

我相信应该是 AIME 之类的题目吧？

1）由于对称性，可至最低点在 x = 11/2 .因为 x 是整数，所以 x = 5,6 带入 x = 5 即可。

2）明显 x<0 时，LHS >0 , RHS <0 ,无解。所以只需考虑 x >= 0

3)将全部 8 个 sum 加起来，然后除于 7 .之后分别减掉那些号码即可。

5）到 mathworld 找找 dearrangment 吧。这题跟他有关。

6）Binomial Expansion (7-1)^273 + (7+1)^273 后 mod 49

其他的暂时没想到。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 06:03 PM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 18:00 发表
我相信应该是 AIME 之类的题目吧？

1）由于对称性，可至最低点在 x = 11/2 .因为 x 是整数，所以 x = 5,6 带入 x = 5 即可。

2）明显 x<0 时，LHS >0 , RHS <0 ,无解。所以只需考虑 x >= 0

...

若这些题目都必须在五分钟内找到呢？有什么快的方法么？

dunwan2tellu

原帖由 Camellia 于 29-5-2006 06:06 PM 发表

若这些题目都必须在五分钟内找到呢？有什么快的方法么？

其实应该已经算快了吧？

之前贴的提示，只有第6题需要算多所以比较慢，其他的都可以5分钟里面 KO .

7) 我觉得应该是 (n+1)!/5! = n! <==> n = 119 不过没想到如何证明最大。

4）比较 lcm (p,q) = 2^4 * 5^3 和 lcm(r,p) = 2^2 * 5^4 得知 r 必须要有 5 的 factor .所以 r >= 5 ,因此可能性只有 (2+1)(4+1) - 3 = 12 个。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 06:24 PM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 18:18 发表

4）比较 lcm (p ...

我手上有的答案是３５。

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 18:18 发表


其实应该已经算快了吧？

之前贴的提示，只有第6题需要算多所以比较慢，其他的都可以5分钟里面 KO .

7) 我觉得应该是 (n+1)!/5! = n! <==> n = 119 不过没想到如何证明最大。

请问这题如何解？

8. Let 0 < x < pi. Find the minimum value of
100/sqrt{3}(sin x/2)(1+cos x)

9. Find the largest 3-digit integer abc satisfying 14a + 49b + 2c = 263.

10. Suppose 1ababababab is an 11-digit integer which is divisible by 99. Find the value of a+b.

请问如果要找最大或最小有什么快且容易的方法吗？

dunwan2tellu

原帖由 Camellia 于 29-5-2006 06:39 PM 发表

请问这题如何解？

因为连续所以可能是 (n+k)!/(k+4)! = n!  (发现到 LHS 是 n-4 个 consecutive integer 的 product ). 当 k=1 时，就是我们要的。 k > 1 使我相信无整数解。

原帖由 Camellia 于 29-5-2006 06:45 PM 发表
8. Let 0 < x < pi. Find the minimum value of
100/sqrt{3}(sin x/2)(1+cos x)

9. Find the largest 3-digit integer abc satisfying 14a + 49b + 2c = 263.

10. Suppose 1ababababab is an 11-di ...

8）你确定是 minimum ? 因为它的 minimum -> 0 when x-> 0

9)用 mod 7 推出 c = 2 或 9 。之后带入然后再 mod 7 推出 a = 8 是最大。

10)mod 9 ==〉5a + 5b + 1 == 0 (mod 9) -->5(a+b) == 8(mod 9) --> a+b == 7 (mod 9)
mod 11 ==> 1+5b -5a == 0 (mod 11) ---> 5(b-a) == 10 (mod 11) ---> b-a == 2(mod 11)

所以 a+b = 7 或 16  b - a = 2 或 - 9 .之后再淘汰就可以了。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 07:19 PM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 18:54 发表

8）你确定是 minimum ? 因为它的 minimu ...

是的，是找minimum。请问要找这些角度的minimum and maximum 有什么招？

mod 有什么用处？在哪里／哪种题目用？

[ 本帖最后由 Camellia 于 29-5-2006 07:21 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 Camellia 于 29-5-2006 07:20 PM 发表

是的，是找minimum。请问要找这些角度的minimum and maximum 有什么招？

mod 有什么用处？在哪里／哪种题目用？

那么就没有 minimum 了，因为 minimum -> 0 ，通常可以看对称性，或用 trigo 本身的特征，如  
sin x =< 1 之类的。

mod = 模。是把大的数目变小的有力工具！要学的话必须有数论基础。你可以参考 "初等数论”的贴。（应该沉到第2面了）第9，10题都可以用。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 07:29 PM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 19:26 发表


那么就没有 minimum 了，因为 minimum -> 0 ，通常可以看对称性，或用 trigo 本身的特征，如  
sin x =< 1 之类的。

那就奇了，他给我的答案还是75勒。。。

11. A permutation of the integers 1,2, ..., 10 is a sequence a_1, a_2, ..., a_10 such that each of those integers appears once. Given such a permutation, we form the sequence of partial sums

s_1 = a_1, s_2 = a_1 + a_2, ..., s_10 = a_1 + a_2 + ... + a_10

Find the number of such permutations which have the property that the partial sums s_1, s_2, ..., s_10 are all not divisible by 3.

dunwan2tellu

那么你肯定题目是

100/sqrt{3} * sin (x/2) * (1 + cos x) ?

还是我 tafsir 错？

题目一炮接一炮打来，有点吃力。


[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 07:43 PM 编辑 ]

题目确实是这样。应该是我type不好，搞到。。。不好意思

mod和数论有什么关系啊？

第５题可以用permutation 来做吗？Dearrangement 什么东东都没听过。。。

[ 本帖最后由 Camellia 于 29-5-2006 07:50 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 Camellia 于 29-5-2006 07:43 PM 发表
题目确实是这样。应该是我type不好，搞到。。。不好意思

mod和数论有什么关系啊？

第５题可以用permutation 来做吗？Dearrangement 什么东东都没听过。。。

mod = modular arithmetric

第5题本来就是 permutation .Dearrangment 是 a type of permutation such that the object is not place in its original box .

example : if 3 different balls are in 3 differents boxex , what is the number of ways to place those balls such that they are not placed in original box ?

以上例子就是 dearrangment .
http://mathworld.wolfram.com/Derangement.html

晚餐后再来挑战吧！哈哈。先下线了。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 08:22 PM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 19:56 发表


mod = modular arithmetric

第5题本来就是 permutation .Dearrangment 是 a type of permutation such that the object is not place in its original box .

example : if 3 different balls are in 3 ...

第５题我算到的probability是24/120。 但，答案给的是76/120。我到底哪儿出错了？

因为, at least one of the cards remain at the same place, so, 我就拿 4 x 3 x 2 x 1 x 1, 再除１２０。真的有问题哩。。。

PS: 你所说的dearrangement我在那个网站找不到啦！它说只有rearrangement。那网站应该是http://mathworld.wolfram.com/吧？

[ 本帖最后由 Camellia 于 29-5-2006 08:18 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 Camellia 于 29-5-2006 08:12 PM 发表

第５题我算到的probability是24/120。 但，答案给的是76/120。我到底哪儿出错了？

因为, at least one of the cards remain at the same place, so, 我就拿 4 x 3 x 2 x 1 x 1, 再除１２０。真的有问题哩。。 ...

sorry ,给错 spelling ,应该是 derangement

http://mathworld.wolfram.com/Derangement.html



total way 是 5! - { 5! - 5C4 * 4! + 5C3*3! - 5C2*2! + 5C1* 1! - 1} =76

原帖由 dunwan2tellu 于 2952006 20:25 发表


sorry ,给错 spelling ,应该是 derangement

http://mathworld.wolfram.com/Derangement.html



total way 是 5! - { 5! - 5C4 * 4! + 5C3*3! - 5C2*2! + 5C1* 1! - 1} =76

我总是把C和P搞乱的。。。可以解释他们的差别吗？

咳。。。去了那个网站。。。不明白。看到那个符号就昏了。。。

12. Let A be the set of all integers of the form n + (n+1) + ... + (n+k), where n, k are positive integers. suppose the elements of A are arranged in ascending order. FInd the 2000th number.

dunwan2tellu

4. How many ordered triples (p,q,r) of positive integers are there for which

lcm (p,q) = 2000, lcm (q,r) = 10000, lcm (r,p) = 2500?

lcm(p,q) = 2^4 * 5^3 , lcm(q,r)=2^4 * 5^4 , lcm(r,p) = 2^2 * 5^4

Let p = 2^a * 5^b , q = 2^c * 5^d , r = 2^e * 5^f

看得出 f=4 , c = 4 . 所以 max{a,e}=2 ,max{b,d}=3

case (i) ==>max{a,e} = 2 --> (a,e)=(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2) 5 cases
case (ii)==>max{b,d} = 3-->(b,d)=(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0) 7 cases

所以 5 x 7 = 35 ways

11. A permutation of the integers 1,2, ..., 10 is a sequence a_1, a_2, ..., a_10 such that each of those integers appears once. Given such a permutation, we form the sequence of partial sums

s_1 = a_1, s_2 = a_1 + a_2, ..., s_10 = a_1 + a_2 + ... + a_10

Find the number of such permutations which have the property that the partial sums s_1, s_2, ..., s_10 are all not divisible by 3.

Taking mod 3 , we have three 0,1 and four 2 in (mod 3)
我们的目的是　s1,s2...,s10　里都没有　0 (mod 3).所以只有可能是

1 1 2 1 2 1 2  的　ｐａｔｔｅｒｎ　．你从左边一个一个加起来然后一直除３，发现倒没有任何一个可以被３整除。
不过你还有 3 个 0 ，这 3 个 0 可以放的地方是那些号码之间，所以方法有

7C3 + 7C2 + 7C1 = 63

之后乘上每个号码的 permutation 得到，63 x 3! x3! x4! = 54432

我总是把C和P搞乱的。。。可以解释他们的差别吗？

C 没有考虑 order , P 有考虑order .

Example : Buy 4 different goods in supermarket (没有考虑先后秩序所以用 C)

Buy 4 different goods item by item .Total different ways to buy 用 P 因为考虑秩序。

咳。。。去了那个网站。。。不明白。看到那个符号就昏了。。。

只要看 !n = n! * Sum (-1)^k/k! 的符号就够了。其他的不必理会。

12. Let A be the set of all integers of the form n + (n+1) + ... + (n+k), where n, k are positive integers. suppose the elements of A are arranged in ascending order. FInd the 2000th number

List 出来看到sequence 有
1 个 1 , 2 个 2 , 3 个 3  .... k 个 k ....

13. Let p be an integer such that both roots of the equation
5x^2 - 5px + (66p - 1) = 0 are positive integers. Find the value of p.

14. Suppose x_0, x_1, x_2, ... is a sequence of numbers such taht x_0 = 1000, and
x_n = -1000/n * (x_0 + x_1 + x_2 + .... + x_(n-1)) for all n>=1. Find the value of

1/2^2x_0 + 1/2 x_1 + x_2 + 2x_3 + 2^2 x_4 + .... + 2^997 x_999 + 2^998 x_1000.

15. Let f: N->Q be a function, where N denotes the set of natural numbers, and Q denotes the set of rational numbers. Suppose that f(1) = 3/2, and
f(x+y) = (1 + y/(x+1))f(x) + (1+x/(y+1))f(y) + x^2y + xy + xy^2.    for all natural numbers x,y. Find the value of f(20)

劳煩了。。。

[ 本帖最后由 Camellia 于 30-5-2006 05:40 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

这里的题目都不错，是从那里得到的啊？可能一些可以作为以后的“每周一题”哈哈。

13）最直接的是用 b^2 - 4ac = k^2 过后得到quadratic equation 后再用 b^2 - 4ac = l^2 . 那么你找 k,l .不过这里号码都不小。

14）我相信找出 x_n 和 x_(n-1) 之间的关系会有帮助吧！不过我看不大清楚。那个 x0+x1+x2+...+xn 实在分子还是分母部分啊？如果是分子，号码可不小！

15）先设 x=y ,后找 f(2),f(4),f(8),f(16) .之后设 x = 16 , y = 4 .

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 30-5-2006 05:48 PM 编辑 ]