Pre-U数学难题...

:.孤心.:

有些pre-U的数学题不是很会做，请问各位大大可以帮帮小弟忙吗？

1.Given an equation 0.99x=sinx has exactly one root in the interval
0<x<1/2pai ,verify by calculation that this root lies between 0.1 and0.5

note:pai=angle in radian,cant type that symbol ^_^"


2.With origin O,the points A,B and C representing the complex number -1+3i,2+i and 1/5+7/5i respectively.State an equation relating the lengths OA,OB and OC.



3.(i) By sketching a suitable pair of graphs,show that the equation
      cosec x = x/2 + 1  where x is in radians,has a root in the interval 0<x<0.5pai  (roughly是怎样的graph?)

  (ii)Verify,by calculation,that this root lies between 0.5 and 1.



4. x^3-x-3=0 has one real root,alpha
    show that alpha lies between 1 and 2



5. 2x^3+x^2+25=0 has 1 real root and two complex roots.Verify that 1+2i is one of the complex roots.(请问是ganti 1+2i进去然后=0来bukti吗?)

[ 本帖最后由 :.孤心.: 于 2-6-2006 06:57 PM 编辑 ]

灰羊

可以用這個方法嗎?

方程式f(x)=0
若f(a)*f(b)<0,則方程式f(x)=0在(a,b)中有根

:.孤心.:

原帖由 灰羊 于 30-3-2006 10:21 PM 发表
可以用這個方法嗎?

方程式f(x)=0
若f(a)*f(b)<0,則方程式f(x)=0在(a,b)中有根

不是很明白...
为什么f(a)*f(b)<0,則方程式f(x)=0在(a,b)中有根呢？

如果f(a)*f(b) > or = 0的话又会怎样...?

dunwan2tellu

用graph 来看的话，如果 f(x) 在 a < x < b 之间有根，则

f(a) * f(b) < 0 .

Example : f(x) = x^2 + 4x + 3

欲求 f(x) = 0 的根，我们可以看到是 -1 , -3 . 以graph 来看的话是 U shape , 而 -1 < x < -3 的范围时，f(x)<0 , otherwise 则 >=0 .

那么我们知道 -1.5 到 -0.5 之间有 root ( ie : x = -1 ) 所以

f(-1.5) * f(-0.5) < 0  ( 因为 f(-1.5) > 0 , f(-0.5) < 0 , 乘起来就 <0 )

:.孤心.:

hmm...我想这类型的题目我应该明白了...
请问还有谁可以帮我解答其他题目吗？

dunwan2tellu

Complex Number 的那题，我觉得是

-1+3i -> y = -x/3

2+i -> y = x/2

1/5 + 7/5i --> y = 7x

本人觉得是用Cartesan Plane 的coordinate 来找 equation . ie : if p+qi 是一个complex plane 的点，则equation 是 y = q/p * x

不过也有可能不是....有没有人有其他意见？

3(i) cosec x 的graph 是 cos x 的reciprocal (大概是 u,n,u,n 酱的形状。可以试试google) 。画 cosec x 和 x/2 + 1 的graph ...

5)2 method :

(i) 直接ganti 进去，看是否= 0

(ii)如果 1+2i 是 root ,则 x = 1+2i <==> x-1 = 2i <==> x^2 -2x +5=0

要证明是否是 2x^3+x^2+25=0 的 root ,则可以用 Long division 来除看是否

x^2-2x+5 可以整除 2x^3+x^2+25 .可以的话就是root ,不能就不是。

第5题有些修改...

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 31-3-2006 06:22 PM 编辑 ]

:.孤心.:

3(i) 请问是y-axis=sinx吗？然后需不需要在他们的共同点画一条线连接起来...?

dunwan2tellu

原帖由 :.孤心.: 于 7-4-2006 09:25 AM 发表


3(i) 请问是y-axis=sinx吗？然后需不需要在他们的共同点画一条线连接起来...?

在同一个graph paper 画两个graph .

y = cosec x

y = x/2 + 1

tayks88

我用Geometer Sketchpad 将两个equation画了出来。
你看看！


[ 本帖最后由 tayks88 于 10-4-2006 02:46 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

tayks88 网友，谢谢你的 graph . 没想到你有 GSP ,想必父母是教师吧？我一直想在市场上买 GSP ,不知哪里有卖？

kee020041

3(i) cosec(x) = x/2 + 1
     1/sin(x) = (x+2)/2
       sin(x) = 2/(x+2)

graph y1 = sin(x)      
graph y2 = 2/(x+2)

:.孤心.:

谢谢楼上几位...
about the graph...
if我想kee020041酱画以下两个graph也是可以的吗..?
graph y1 = sin(x)      
graph y2 = 2/(x+2)

kee020041

题目都写了嘛

“By sketching a suitable pair of graphs..........”

所以 可以啊。

無聊人

感觉是我的程度
还不算难题
要温习咯

tayks88

我有一个关于Trygonometric Function 的问题要问大家：

A, B and C are an angle of a triangle, prove that tan C=1 if tan A=2 and tan B=3.

kee020041

a+b+c = 180
tan(a+b+c) = tan(180) = 0

tan(a+b)   = (tan(a) + tan(b)) / ( 1-tan(a)tan(b) )
           =  (2+3)/(1-2*3)
           =   5/-5
           = -1

tan(a+b+c) = ( tan(c) + tan(a+b) ) / (1-tan(c)tan(a+b))
0          = (tan(c)+ (-1) )/(1-tan(c)(-1))
           = (tan(c)-1)/(tan(c)+1)
tan(c)-1   = 0
tan(c)     = 1

dunwan2tellu

在“几何问题”的贴里，你会看到一个恒等是：

内角为 A,B,C 的三角形里总会有

tan A + tan B + tan C = tan A * tan B * tan C

所以你只要把 tan A = 2 , tan B = 3 带入，就可以看到 tan C = 1

tayks88

原帖由 kee020041 于 11-4-2006 06:51 PM 发表
a+b+c = 180
tan(a+b+c) = tan(180) = 0

tan(a+b)   = (tan(a) + tan(b)) / ( 1-tan(a)tan(b) )
           =  (2+3)/(1-2*3)
           =   5/-5
           = -1

tan(a+b+c) = ( tan(c) + tan(a+b) ...

原帖由 dunwan2tellu 于 11-4-2006 11:22 PM 发表
在“几何问题”的贴里，你会看到一个恒等是：

内角为 A,B,C 的三角形里总会有

tan A + tan B + tan C = tan A * tan B * tan C

所以你只要把 tan A = 2 , tan B = 3 带入，就可以看到 tan C = 1

谢谢你们！我明白了！
我之前有请教老师了！他的做法是：

A+B+C=180
[ tan both side ]
tan[ A+B+ C ]=tan 180
[tan(A+B)+tanC]/(1-tan(A+B)tanC=0
-tan(A+B)=tanC
tan C=-[(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)]
tan C=-[(2+3)/(1-2*3)]
tan C=-[5/-5]
tan C=-[-1]
tan C=1#

:.孤心.:

line L has equation  r=(7,0,3)+ t(5,3,2)
plane Pai has equation r(1,1,2)=1

(i)Find coordiantes of pt A where L meet Pai.
(ii)pt B has coordinates (7,0,3) ,pt C is the foot of the perpendicular from B to Pai. Find coordinates of pt C
(iii)Find vector equation for line AC,calculate angle of BAC.

dunwan2tellu

原帖由 :.孤心.: 于 4-5-2006 08:11 PM 发表
line L has equation  r=(7,0,3)+ t(5,3,2)
plane Pai has equation r(1,1,2)=1

(i)Find coordiantes of pt A where L meet Pai.
(ii)pt B has coordinates (7,0,3) ,pt C is the foot of the perpendicular from B to Pai. Find coordinates of pt C
(iii)Find vector equation for line AC,calculate angle of BAC.

(i) r = (7+5t , 3t , 3+2t) ==> A .

A is at plane pi ==> A . (1,1,2) = 1 ==> (7+5t , 3t , 3+2t) .(1,1,2)=1

<==> 13+ 12t = 1 ==> t = -1

hence A = (2,-3,1)

(ii) BC is parallel to the normal vector of plane pi , therefore the vector equation for line BC is

BC = (7,0,3) + k(1,1,2) = (7+k , k , 3+2k)

Since it lies on plane pi ==> (7+k , k , 3+2k).(1,1,2) = 1

==> k = -2 ==> C = (5,-2,-1)

(iii) equation AC = (2,-3,1) + s(-3,1,-2)

==> vector AC = (-3,1,-2)
vector AB = (-5,-3,-2)

AC . AB = (-3,1,-2).(-5,-3,-2) = 16 , |AC| = sqrt{14} ,|AB|=\sqrt{38}
let angle BAC = x , then

cos x = (AB.AC)/(|AC||AB|) = 16/(2sqrt{133}) = ....

x = .....