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初等数论讨论中心
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发表于 9-7-2005 12:00 AM
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多普勒效应 于 8-7-2005 23:47 说 :
小弟对数论有兴趣。
效仿 pipi老师开个讨论区 
以下都是整除性质的题目
1. 简介:F_n = 2^2^n +1 是著名的 fermat 数。费马曾经认为 F_n 都是质数。
然而 F_5 = 2^2^5 +1 却被欧拉(euler)证明得是合数。 ...
可以先開教學吧
因為大部分中學生對數論還是很陌生(我也是).... |
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楼主 |
发表于 9-7-2005 12:23 AM
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基本整除的重点
所有正整数 n 都可唯一的表示成 (p1 ^a1)(p2 ^a2)...(pn ^an) [p_i 是质数 p_m<p_n 若 m<n]
a 整除 b 就是 b/a 是个整数
gcd(a,b) 是 a,b的最大公因数
lcm(a,b) 是 a,b 最小公倍数 |
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楼主 |
发表于 12-7-2005 10:45 PM
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没有人回答？？
介绍一本好书--<数论导引>华罗庚
在我国较难找到，网上有 e-book..
内容很不错 |
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发表于 13-7-2005 05:58 PM
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发表于 13-7-2005 11:20 PM
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多谱勒兄一下子就来那么劲暴的题目，自然需要些时间来做嘛。况且又没有教材，难免会冷门点.... |
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楼主 |
发表于 14-7-2005 12:07 AM
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ermmm...
那，先来一题简单的当warm-up
1. 设正整数 n 使 2n+1 和 3n+1 均为完全平方数。
问，5n+3 可不可能是质数? |
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发表于 18-7-2005 06:48 PM
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多谱勒的 warm up 题，
n=40 时符合题目
不难看出2n+1是奇数而我们知道任何奇平方都有 1 (mod 8) ,所以 n 必为8的倍数（因3n+1必须为奇）。再来任何奇平方的末位数必为1,5,9 。 当其末位数为 1 时，3n+1=1(mod 10) 得 n 须为5的倍数。综合得 n 须是40 的倍数 。当n=1时有 ， 2n+1 = 81;3n+1 = 121 ; 5n+3 = 203
我只得到special case 罢了。不知道有没有general的解？ |
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发表于 18-7-2005 10:04 PM
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原帖由 多普勒效应 于 14-7-2005 12:07 AM 发表
ermmm...
那，先来一题简单的当warm-up
1. 设正整数 n 使 2n+1 和 3n+1 均为完全平方数。
问，5n+3 可不可能是质数?
教mod吧...我想應該比較多人有興趣 |
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发表于 19-7-2005 12:16 AM
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发表于 19-7-2005 04:33 PM
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从书上看到的数论题，很好玩一下...呵呵
将４４４４＾４４４４的各位digit的和当做 A ， 再将 A 的各位digit 的和当做 B ，最后将 B 的各位digit 的和当做 C 。求 C |
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发表于 20-7-2005 03:56 PM
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第３题
若任何一个a 或 b 是零的话，那么就符合题意
当a,b都不为０时，设a>b>0 ,那么 a 就是一元二次
x2-kbx+b2-k=0 的其中之一的解（k=(a2+b2)/(1+ab) 而这里就当a2 为 a^2 )。这quadratic的另个解就设为a_1 。由违大定理，
a+a_1 = kb , a .a_1 = b2-k 所以
b2-kba_1 + (a_1)2 - k = 0 .....(i)
但a_1 = (b2-k)/a < b2/a < b (因为a>b) 所以 b>a_1>0
再来我们看到b是(i)的其一解，设另一个解为b_1的话，用同样的步骤回得
(a_1)2 -k(a_1)(b-1) + (b_1)2 - k = 0 , a_1>b_1>0
依此类推，经过有限步骤后必有一个a_n或b_n ＝ ０ ，所以便可得k为平方数。
p/s:惭愧！并非自己想出来的 .... |
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发表于 22-7-2005 07:27 PM
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原帖由 dunwan2tellu 于 19-7-2005 04:33 PM 发表
从书上看到的数论题，很好玩一下...呵呵
将４４４４＾４４４４的各位digit的和当做 A ， 再将 A 的各位digit 的和当做 B ，最后将 B 的各位digit 的和当做 C 。求 C
怎么没人做呢？好吧就提示一下！虽然号码看起来很大但当你把digit 都加起来时，digit就会不断减少。你可以假设它digit加起来最大是多少后，又用剩下的digit再加。还有一点很重要的是，若想知道一个数被９除后的余数，其实也相等与把那个数的所有digit加起来后除９的余。
Example:
６３２９６除９ 的余数 ＝(6+3+2+9+6)除９ 的余数
＝２６除９ 的余数 ＝(2+6)除９ 的余数 =8 |
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发表于 22-7-2005 07:34 PM
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顺便再来一题数论
试确定所有的正整数，使到这数永远与 a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1 （ n 为自然数）互质。
*这里介绍个好用的公式：Fermat Little Theorem
若(a,p)=1 既 a 和 p 互质 ，那么 p | a^(p-1) - 1
b|a 是 b 整除 a |
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楼主 |
发表于 22-7-2005 09:27 PM
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呵呵，我做到了..
这是 IMO 2005 第四题..
不要扫各位的兴 =P
待会儿再贴.. |
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发表于 24-7-2005 05:44 PM
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看来数论的却比较困难吧？不要紧，先来些warm-up 吧！
若a,b＞１是正整数，请问
a^4 + 4b^2 有没有可能是质数(prime number)?
提示：prime number 的因子(factor)除了本身之外就是1,所以如果一个数可以写成p x q （这里p,q＞１都是正整数），那么这数就不会是质数。
Ex:18 = 9 x 2 所以非质数
17 = 1 x 17 因为当中有１，所以是质数 |
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发表于 4-8-2005 10:34 PM
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楼主 |
发表于 4-8-2005 11:37 PM
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若一个数 a 可以被表示成 a=b^2 (b是整数)，则称 a 为完全平方数。
若一个数 a 可以被表示成 a=b^3 (b是整数)，则称 a 为完全立方数。 |
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发表于 30-8-2005 04:49 PM
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多普勒兄，可以在这里教mod吗?小弟想学，又或者哪一位仁兄知道可以从哪里找到有关这一个领域的资料?
又或者告诉小弟这门学问的名字是什么?让小弟自己去找。
谢谢 |
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楼主 |
发表于 30-8-2005 11:36 PM
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你在 google 那种search machine 打 "同余"
应该可以找到很多中国的网上教材的  |
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