初等不等式训练(题目在第1页)

pipi

各位老朋友，新朋友...好！！！
我又出现了
这一次，带给大家比较＂专业＂的训练。
也因为时间上的关系，暂时专攻＂初等不等式＂。
最基本的不等式，当然便是 AM-GM 不等式，如下：

现在介绍另一个＂好用＂的不等式：柯西不等式。

另一种不等式：

另一种＂好用＂不等式：


我会不时在此贴编辑，敬请大家留意，谢谢！！

[ Last edited by pipi on 30-6-2005 at 08:44 AM ]

pipi

那由 AM-GM 不等式， 我们可以先来玩玩以下的问题

这么快就解了这 5 题，那么试试以下的吧！！

不错！不错！题目会越来越好玩。暂时试试：

再来还是应用基本的 AM-GM 不等式, 试试吧：

可能要用＂柯西不等式＂了，试试：

来玩玩这些（也许Jensen Inequality 会帮忙不少）：

再来玩玩：


多普勒效应报到！
小弟也提供一些不等式 =D
下列基本上都是讨论实数，括号里的是条件。
ms word 有问题，只好在 MathType 那边 print screeen 过来
字体不清，多多原谅 =P
（注: 第八题是 R+ ,不是 R-）
（第二题： d=max{a,b,c,d}


我会不时在此贴编辑，敬请大家留意，谢谢！！

[ Last edited by 多普勒效应 on 5-7-2005 at 04:12 PM ]

铁蛋

[1] 取 x_1 = x, x_2 = 1/x, n=2 ;

[2] 左手边 = (x^2 + 1) / √(x^2 + 1)  + 1 / √(x^2 + 1)

           = √(x^2 + 1) + 1 / √(x^2 + 1)

取 u = √(x^2 + 1), 引用 [1] 即解 .

[3] 排一下再引用 [1] 即解 (取 u = x^2).


原谅铁蛋吧!

灰羊

pipi 于 17-6-2005 10:27  说 :
那由 AM-GM 不等式， 我们可以先来玩玩以下的问题


我会不时在此贴编辑，敬请大家留意，谢谢！！

pipi歡迎回來
這裡現在好冷清///
你開這個專欄不錯
我學校只學普通的不等式沒學算幾
因為老師說沒有考...
現在總算有人教了

灰羊

灰羊 于 17-6-2005 17:31  说 :


pipi歡迎回來
這裡現在好冷清///
你開這個專欄不錯
我學校只學普通的不等式沒學算幾
因為老師說沒有考...
現在總算有人教了

第三題

pipi

铁兄，你又来凑一脚了...
灰羊，谢谢你的支持！！

大家也来试试以下的吧！！

dunwan2tellu

pipi 于 17-6-2005 08:34 PM  说 :
铁兄，你又来凑一脚了...
灰羊，谢谢你的支持！！

大家也来试试以下的吧！！

多普勒效应

pipi老师，你回来了啊！
如果过后忙的话，可以选题然后我代你贴上来 ;-)

灰羊

pipi 于 17-6-2005 20:34  说 :
铁兄，你又来凑一脚了...
灰羊，谢谢你的支持！！

大家也来试试以下的吧！！

有快點的方法嗎?


[ Last edited by 灰羊 on 18-6-2005 at 03:15 PM ]

dunwan2tellu

就是咯。。。第八题我也是解得挺长的。。。不过我偷吃太多步了

[ Last edited by dunwan2tellu on 18-6-2005 at 04:13 PM ]

pipi

不错！不错！题目会越来越好玩。暂时试试：

多普勒效应 于 17-6-2005 11:22 PM  说 :
pipi老师，你回来了啊！
如果过后忙的话，可以选题然后我代你贴上来 ;-)

先谢谢你了

灰羊 于 18-6-2005 12:06 AM  说 :
有快點的方法嗎?

我只是一直重复应用第五题的 idea 来解第六，七，八题。
快點的方法
大家再努力努力！！

灰羊

pipi 于 18-6-2005 09:19  说 :
不错！不错！题目会越来越好玩。暂时试试：



先谢谢你了


我只是一直重复应用第五题的 idea 来解第六，七，八题。
快點的 ...

可能要用更強的不等式...

灰羊

pipi 于 18-6-2005 09:19  说 :
不错！不错！题目会越来越好玩。暂时试试：



先谢谢你了


我只是一直重复应用第五题的 idea 来解第六，七，八题。
快點的 ...

現在搞定了
但如果我們之前沒做過(7)
又會不會解呢...會不會想到要這樣解呢?



[ Last edited by 灰羊 on 18-6-2005 at 04:08 PM ]

dunwan2tellu

pipi 于 18-6-2005 09:19 AM  说 :
不错！不错！题目会越来越好玩。暂时试试：

我 来 试 第9  题

设 x=ab , y=ac , z=bc

(x+y+z)^2 = x^2 +y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)
               >=(xy+yx+xz)  + 2 (xy+yz+xz)   ( 用x^2+y^2>=2xy )
                =3(xy + yz + xz )

得 x+y+z >= sqrt {3(xy+xz+yz)}

将a,b,c  带 入 即 可 得 不 等 式

[ Last edited by dunwan2tellu on 18-6-2005 at 03:48 PM ]

灰羊

dunwan2tellu 于 18-6-2005 15:46  说 :


我 来 试 第9  题

设 x=ab , y=ac , z=bc

(x+y+z)^2 = x^2 +y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)
               >=(xy+yx+xz)  + 2 (xy+yz+xz)   ( 用x^2+y^2>=2xy )
                =3(xy + yz + x ...

原來dunwan2tellu已經想到更好的方法....

灰羊

以下是算幾不等式的加權形式

原來tiny的圖只能放一天

[ Last edited by 灰羊 on 19-6-2005 at 02:13 PM ]

dunwan2tellu

灰羊 于 18-6-2005 04:09 PM  说 :

原來dunwan2tellu已經想到更好的方法....

  其 实 大 质 上 一 样。

灰羊 于 18-6-2005 04:13 PM  说 :
以下是算幾不等式的加權形式


[ Last edited by 灰羊 on 18-6-2005 at 04:15 PM ]

  好 不 错 的 一 个 不 等 式

[ Last edited by dunwan2tellu on 18-6-2005 at 04:28 PM ]

dunwan2tellu

这里有几题不等试

1)a,b,c为三角形的三边，试证明

√(a + b - c) + √(b + c - a) + √(c + a - b) ≤ √a + √b + √c


2) 若a,b,c >0 且 满 足 1/a + 1/b + 1/c = 1 , 试 证 明

√(a + bc) + √(b + ca) + √(c + ab) ≥ √(abc) + √a + √b + √c


欢迎大家来试

[ Last edited by dunwan2tellu on 19-6-2005 at 12:41 PM ]

pipi

再来还是应用基本的 AM-GM 不等式, 试试吧：

灰羊 于 18-6-2005 04:13 PM  说 :
原來tiny的圖只能放一天

那么尝试 img.photobucket.com 吧，我觉得它还好

dunwan2tellu

先试试１３，１４