大专数学训练题库

pipi

经灰羊及 yaahoo网友建议，我觉得我也该整理整理一下之前数学训练的题目，因为那确实让人看得眼花撩乱。。。

以下的每一张贴都是网友们的贡献，我只是将它们弄得＂好看＂些

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:38 PM ]

pipi

22/08/2004，星期日
大专(C1) 设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实?嘞钍健?
         已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：**）

解法（一）
f(1)=a + b/2 + c + d/4 + e=b/2+d/4
f(-1)=-a + b/2 - c + d/4 - e=b/2+d/4
==> f(1)=f(-1)
==> f'(x)=(f(1)-f(-1))/2=0 在区间 [-1,1] 中有一實根。 (叫"均值定理"的樣子)
==> p(x)=0 在区间 [-1,1] 中有一實根。


解法（二）
若 p(x) = 0 for all x in [-1,1]，那么原题得证！
假设 p(x)≠0 for all x in [-1,1]。

那么(i)  p(x) > 0 for all x in [-1,1] 或者
    (ii) p(x) < 0 for all x in [-1,1]。
我们将分别从 (i)与(ii) 得到 ∫p(x) dx > 0 及 ∫p(x) dx < 0
（这与我们的计算 ∫p(x) dx = 0 产生矛盾！！）
所以存在着 r, s in [-1,1] 令到 p(r）p(s) <0 ，
由于 p(x) 是连续方程，
就存在着 k in [-1,1] 令到 p(k)=0 。(Intermediate Value Theorem)
证毕！

pipi

29/08/2004，星期日
大专(C2) 设 f(x) 为可微(differentiable)偶函数 （即 f(-x) =  f(x) for all x）。求证
         (i)  f '(x) 为奇函数 （即 f '(-x) = - f '(x) for all x）。
         (ii) f '(0) = 0                        （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

(i)
解法（一）
f '(-x) = lim (h->0) [f(-x+h)-f(-x)]/h
        = lim (h->0) [f(x-h)-f(x)]/h
        = lim (h->0) –[f(x)-f(x-h)]/h
        = - lim (h->0) [f(x)-f(x-h)]/h
        = - f ’(x)
hence prove.


解法（二）
　f(-x)=f(x)      
f'(-x)*(-x)'=f'(x)
  -f'(-x)=f'(x)
   f'(-x)= -f'(x)


(ii)
f ’(0) = f ’(-0) = - f ’(0)
因此 f '(0) = 0

pipi

29/08/2004，星期日
大专(C2)' a,b,c 为整数。
          若 a^2 + b^2 + c^2 是 16 的倍数，
          求证 a^3 + b^3 + c^3 是 64 的倍数。   （已解）
        （答案：--）
        （解对者：辉文，微中子）

考虑
任何整数被16除的余数,
0, 1, 2, ..., 15

所以,任何整数n,

n^2 = x (mod 16)

当中,x只有0,1,4,9的可能性.

为了让a^2 + b^2 + c^2 = 16m的形式

x 只能是0,

考虑其中一个a^2 = 16k
所以a = 4 sqrt(k) ,不过a 是整数,所以sqrt(k)也是整数.
所以a是4的倍数.

同理,a, b, c都是4的倍数

a = 4q, b = 4s, c = 4r, q,s,r都是整数

a^3 + b^3 + c^3 = 64(q^3 + r^3 + s^3) = 64p, p 整数
所以是64的倍数.

pipi

5/09/2004，星期日
大专(C3) k 为正整数， 求证：
         （已解）
        （答案：--）
        （解对者：微中子）

解法（一）
修正,k>=1, 不是k>1.





解法（二）

pipi

12/09/2004，星期日
大专(C4) 在边长为 2 的正六边形上任意点 25 个点。
         证明：存在着两点，其距离小于 1。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

設沒有兩點的距离小于 1。
首先﹐將正六边形分割成大小相等﹐邊長為1的三角形。
不難發現﹐一個三角形內﹐不能存在著兩點。
因此﹐最多能放24個點。
若點上25個點﹐必存在着两点，其距离小于 1。

pipi

19/09/2004，星期日
大专(C5) 某个醉汉目前在位置 "5"，他的家在位置 "8"，而位置 "0" 则是断崖。
          由于他分不清方向，设他每次移动一单位，且只走向左或向右，而每次向左或向右的机率皆为 1/2。
          若到位置 "8"，则家人迎接他（安全抵达）。
          若到位置 "0", 则跌入断崖。。。（无法继续行程）
          求此醉汉安全回到家的机率。
          （已解）
        （答案：5/8）
        （解对者：sinchee，斷羽鳥）

解法（一）
設 0 為斷崖的位置﹐ P(k,n) 為從 k 安全 n 到的概率。
則 P(1,2) = 1/2
    P(2,3) = 1/2 + 1/2[P(1,2)][P(2,3)]
=>  P(2,3) = 2/3
    P(3,4) = 1/2 + 1/2[P(2,3)][P(3,4)]
=>  P(3,4) = 3/4
    P(4,5) = 1/2 + 1/2[P(3,4)][P(4,5)]
=>  P(4,5) = 4/5
    P(5,6) = 1/2 + 1/2[P(4,5)][P(5,6)]
=>  P(5,6) = 5/6
    P(6,7) = 1/2 + 1/2[P(5,6)][P(6,7)]
=>  P(6,7) = 6/7
    P(7,8) = 1/2 + 1/2[P(6,7)][P(7,8)]
=>  P(7,8) = 7/8
因此﹐P(5,8) = [P(5,6)] [P(6,7)] [P(7,8)]
             = 5/8


解法（二）
                         t + 1
            0   1   2   3   4   5   6   7   8
            ---------------------------------
       0 |  1   
       1 | .5      .5     
       2 |     .5      .5
       3 |         .5     .5
       4 |             .5      .5
   t   5 |                .5       .5
       6 |                     .5      .5
       7 |                         .5      .5
       8 |                                  1

這基本上是一個Random Markov Chains. 我們可把醉漢的步伐用上面的 transition probability matrix 來代表. 那有兩的absorbing state … 就是 8 和 0 嘛!

如果說 ui = Pr( X(t =T) = 8 | X(t = 0) = i), 那麽我要找的就是 u5 咯! 可用Markov Chain Theory 裏的 First Step Analysis 來解!.  

u0 = 0 (永遠到不了傢咯) ;  u8 = 1 咯! 對吧! 接下來我們有.
u1 = 0.5*u0 + 0.5*u2 = 0.5*u2
u2 = 0.5*u1 + 0.5*u3
u3 = 0.5*u2 + 0.5*u4
u4 = 0.5*u3 + 0.5*u5
u5 = 0.5*u4 + 0.5*u6
u6 = 0.5*u5 + 0.5*u7
u7 = 0.5*u6 + 0.5*u8 = 0.5*u6 + 0.5

Solve the equations system => u5 = 5/8


REMARK:
比較Genaral的case :
用數學歸納法﹐
證明﹕P(n-1,n) = (n-1)/n
P(1,2) = 1/2
設 P(k-1,k) = (k-1)/k,
則  P(k,k+1) = 1/2 + 1/2 [P(k-1,k)] [P(k,k+1)]
=>  P(k,k+1) = k/(k+1)
因此﹐ P(n-1,n) = (n-1)/n  (得証)

故 P(k,n) = [P(k,k+1)][P(k+1,k+2)]…[P(n-1,n)]
          = [k/(k+1)][(k+1)/(k+2)]…[(n-1)/n]
          = k/n

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:04 PM ]

pipi

26/09/2004，星期日
大专(C6) 如下图，在单位圆（即半径为 1）的圆周上取 5 个点。
         （将这5点连起来，可形成正五边形）
         现在，5 点中任选 1 点，将此点接连其余 4 点，得四个线段.
         设这四个线段的长度分别为 a,b,c,d。
         求证： abcd = 5
          （已解）
        （答案：--）
        （解对者：止战之殇，fritlizt）

解法（一）
角度ABC = 角度 BCD = 角度  CDE = 角度  DEA = 角度  EAB = (5-3)(180)/5 = 108度
b = c (因为角度   BCD = 角度 AED, CD = ED, BC = AE)

把ABCDE五点都连接到圆圈中心点          O,  
角度  AOB = 角度  BOC =  角度  COD = 角度  DOE = 角度  EOA = 360/5 = 72度

d^2 = 1^2 + 1^2 – 2(1)(1)cos72
       = 2 – 2cos72

c^2 = d^2 + d^2 – 2(d)(d)cos108
       = 2d^2[1 – cos108]
       = 2[2 – 2cos72][1 – cos108]


abcd = (bc)(ad)
        = (c^2)(d^2) (因为  b = c, a = d)
        = 2[2 – 2cos72][1 – cos108] [2 – 2cos72]
        = 2[(2 – 2cos72)^2] [1 – cos108]
        = 5

解法（二）
因为     cos72 = {sqrt(5)-1}/4
         cos 144 = -{sqrt(5)+1}/4

a^2 =1^2+1^2-2(1)(1)cos72
  =2-{sqrt(5)-1}/2
  ={5-sqrt(5)}/2

b^2 = 1^2+1^2-2(1)(1)cos144
  = 2+{sqrt(5)+1}/2
  ={5+sqrt(5)}/2

c = b
d = a

abcd = a^2*b^2
     = {5-sqrt(5)}/2 * {5+sqrt(5)}/2
     = {5+sqrt(5)}{5-sqrt(5)} /4
     = 20/4
     = 5

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:47 AM ]

pipi

03/10/2004，星期日
大专(C7)
        
        （ 提示：利用 Mean Value Theorem ）   （待解）
        （答案：）
        （解对者：）

pipi

10/10/2004，星期日
大专(C8)
         （已解）
        （答案：--）
        （解对者：情~風）

(a)
n + Sn
= n + 1 + 1/2 + ... + 1/n
= (1+1) + (1+ 1/2) + ... + (1+ 1/n)
= 2 + 3/2 + 4/3 + 5/4 + ... + (n+1)/n
≥ n{(2)(3/2)(4/3)...[(n+1)/n]}^(1/n) by AM-GM inequality
= n(n+1)^(1/n)
Since 2 ≠ 3/2 ≠ ... ≠ (n+1)/n, so the equality won’t hold.
Thus n + Sn > n(n+1)^(1/n).

Method for (b) is similar to that of (a).
n - Sn
= n - 1 - 1/2 - ... - 1/n
=(1-1) + (1- 1/2) + (1-1/3) + ... + (1- 1/n)
= 1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + (n-1)/n
≥ (n-1){(1/2)(2/3)(3/4)...[(n-1)/n]}^[1/(n-1)] by AM-GM inequality
= (n-1)(1/n)^[1/(n-1)]
= (n-1)n^[-1/(n-1)].
Since 1/2 ≠ 2/3 ≠ ... ≠ (n-1)/n, so the equality wont hold.
So n - Sn > (n-1)n^[-1/(n-1)].

[ Last edited by pipi on 15-10-2004 at 11:09 AM ]

pipi

17/10/2004，星期日
大专(C9) 求证：
         （已解）
        （答案：--）
        （解对者：灰羊，多普勒效应）

解法（一）


解法（二）
用归纳法
当 x=1，左式＝右式＝cos x


依据数学归纳法，命题对于所有 x = 1,2,3..... 都成立。

[ Last edited by pipi on 19-10-2004 at 06:46 PM ]

pipi

24/10/2004，星期日
大专(C10) 若 0 < x ,y < 1 。
          求证 1 < x^y  + y^x < 2 。 （待解）
          （答案：）
          （解对者：）

pipi

24/10/2004，星期日
大专(C11)
          （待解）
          （答案：--）
          （解对者：sinchee）

解法：


[ Last edited by 多普勒效应 on 5-11-2004 at 08:31 PM ]

多普勒效应

07/11/2004，星期日
大专 （C12）
一间工厂生产两种口味的糖果：草莓和香草。我们无法从糖果的表面判断糖果的口味。有关的糖果将会包装成包裹。每种包裹里的组合都可能不一样（可能整包都是草莓口味的糖果或是整包都是香草口味的糖果，或是一颗草莓其余香草等等）。假设每包糖果的数量都一样以及每种组合的机率都一样。
小明买了一包有关的糖果，尝了一颗发觉是草莓口味。如果现在小明取第二颗糖果（第一颗没放回去），请问第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？
（已解）
（答案：2/3）
（解对者：sinchee，萧晨）  

[ Last edited by 多普勒效应 on 7-11-2004 at 03:05 PM ]

多普勒效应

14/11/2004，星期日
大专 （C13）
证明 　２≤ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。
（已解）
（答案：-）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）

解法（一）
画图法:
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and  0<k<1
then draw 3 lines--->y=1+k
y=2^k
y=3^k
可以发现在0<k<1里面
y=2^k一直都在y=1+k之下---->很简单，不用画图出来也知道啦。。。(因为只有在k=0,k=1相交)
y=3^k一直都在y=1+k之上  （因为两个交点，一个是k=0,一个是k<0）
2^k<1+k<3^k
===>2<(1+k)^(1/k)<3   当0<k<1
===>2<(1 + 1/n)^n<3   当n is natural number

(可以这样变换因为n is natural number 的range在0<k<1的domain里面)


解法（二）

证明(1+1/n)^n-2>0,(1+1/n)^n-3<0

(1+1/n)^n-2
=[(1+n)/n]^n-2
=[(1+n)^n-2n^n]/(n^n)--------->分母先搁着一边，打字太麻烦了
=(1+n)^n-2n^n--->展开
=1+(nC1)(n)+(nC2)(n^2)+...+(nC(n-2))(n^(n-2))+(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n
由于最后三项相加就是0-->(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n=0
剩下的全部是正数
所以，(1+1/n)^n-2>0
(1+1/n)^n>2

然后就是证明(1+1/n)^n-3<0--->maximum=e<3
所以就解到了


解法（三）
y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limitn-->无限,y=e
所以就解到

[ Last edited by 多普勒效应 on 4-12-2004 at 09:05 AM ]

多普勒效应

[coloe=blue]21/11/2004，星期日
大专 （C14）
这题须要有一些赌博的知识，希望不会教坏小孩。
五个赌徒分别坐在五个赌桌玩 poker （也叫 ＂派＂（pair））。如果五个人手上的牌分别是：

（A） A（黑桃）A（红心）A（方块）K（黑桃）K（红心）
（B） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（梅花）
（C） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（红心）
（D） A（黑桃）A（红心）A（方块）6（黑桃）６（梅花）
（E）A（黑桃）A（红心）A（方块）3（黑桃）3（梅花）

那谁赢的机会最大？（假设是用 52 张牌，没有 joker）
（已解）
（答案：D）
（解对者：sinchee）
（感谢 flash 提供）

解法
答案应该是(D)才对啦！！！

想想一下，5 个人都拿 3 个 A ，
只要有人拿 4 张相同的牌就输了，5 人输的机会都相等。
但如果有人拿同花顺，他们也会输，
而 (D) 的情况，别人拿同花顺的机会最小，
即，(D) 赢的机会最大。

[ Last edited by 多普勒效应 on 4-12-2004 at 09:08 AM ]

多普勒效应

28/11/2004，星期日
大专 （C15）
请算出
(cos x)^2 + (cos 2x)^2 + ... (cos nx)^2
（待解）
（答案：）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）

[ Last edited by 多普勒效应 on 4-12-2004 at 09:08 AM ]

多普勒效应

感谢flash提供十一月的题目。