问题：Proove that (√2) is irrational number

low_yong_xuan

大家好，在求学时期遇到的问题，请大家解一解
Proove that (√2) is irrational number

yw46

google一下就有了
http://www.google.com.my/search? ... s=en&q=Proove+that+(%E2%88%9A2)+is+irrational+number&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8

puangenlun

我只知道欧几里德的证明方法
但是wiki给出了其他的证明方法
受益匪浅
谢谢楼主抛砖
http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2
http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml

low_yong_xuan

回复 3# puangenlun


    欧几里德？好深，没听过
我以前只学过contradiction的proove法，没想到还有那么多种method解答哦，没问真的不知道哦，谢啦
其实来这论坛的人大多都是数学系毕业的吗？得空可以搞个数学系网聚类

yw46

我还没进大学的{:2_72:}

~HeBe~_@

Proove that (√2) is irrational number.

Proof: Suppose that by contradiction that √2 is a rational
         i.e. √2 = p/q
         where p,q belongs to Z,  q ≠ 0 and p,q have no common factors.

         then 2 = (p/q )^2  → p^2 = 2q^2.       ------------- (1)
                                     → p^2 is divisible by 2.
                                     → p is also divisible by 2.
                                     → p = 2p_1 for some p_1 belongs to Z.   ---(2)

Substitute p = 2p_1 into (1):
    (2p_1)^2 = 2q^2
     4(p_1)^2= 2q^2
             q^2= 2(p_1)^2
             q    = 2(q_1)  for some p_1 belongs to Z.  
∴ gcd (p, q) ≥ 2

A contradiction.

antimatter

为什么 gcd(p,q)≥2 那么√2 是irrational 呢？
这不是只证明p 和q 还没有被约简而已吗？

yw46

p^2 = 2q^2

还有一个方法是列出他们的全部prime factor...
p^2和q^2都有odd个prime factor...
p^2 (odd个prime factor) = 2q^2 (even个prime factor)
所以p^2 = 2q^2 是不成立的..

kelfaru

大家好，在求学时期遇到的问题，请大家解一解
Proove that (√2) is irrational number
low_yong_xuan 发表于 16-12-2009 10:26 PM

这老师可以帮忙...

http://www.youtube.com/watch?v=GNjLrqTMVgE&feature=related

~HeBe~_@

为什么 gcd(p,q)≥2 那么√2 是irrational 呢？
这不是只证明p 和q 还没有被约简而已吗？
antimatter 发表于 24-12-2009 06:25 PM

为什么 gcd(p,q)≥2 那么√2 是irrational 呢？

gcd是 greatest  common divisor,换句话说是highest common factor
他们是同样意思的，GCD = HCF

所以，gcd(p,q)≥2意思是 p和q的HCF至少是2以上。

之前我假设√2 是rational，√2=p/q
p,q have no common factors(意思是互质,coprime)，但是prove到最后得到HCF是≥2，
证明了我的假设“p,q have no common factors”是不成立的，所以It's a contradiction，就是√2 是irrational。

kelfaru

用背理法...从youtube那边看过来的

let √2 = m/n (m和n互值)
n√2=m
2n^2=m^2
m^2可以被2除,
m是偶数才可以被称2除,
所以 2 l m

let m=2p,p element of natural number
2n^2=(2p)^2
2n^2=4p^2
n=2p
所以 2 l n

回到最先方程,
√2 = m/n, *2 l m, *2 l n,记得m和n互值,
既然m和n有共同的因数,那m和n互值的假设是不成立的...
就是说最先方程 √2 = m/n 是不成立的,
所以 √2 不能够写成 m/n.

cheesit92

很出名的一题！contradiction!