复数 Complex Number

dunwan2tellu

最近拿了 Complex Analysis 这个 course, 当复习到 complex number 时候忽然想到一题题目，很好玩下

题目：
(1) 若复数 a,b,c 是 unit circle 里的 3 个点。请证明

abc/[(a+b)(b+c)(a+c)]

是实数

(2) 设 3x3 complex Matrix A 是
( 1   1   1   )
( z1  z2  z3 )
( z1'  z2'  z3')

where z1,z2,z3 = 任何复数， z1',z2',z3' = z1,z2,z3 的 conjugate.

试证明

Det ( A) 是纯复数(purely imaginary)

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 24-1-2009 07:47 PM 编辑 ]

distantstar

将a,b,c写成exponential form，然后代入原式，化简之后，原式只包含cosine function & constant real function,因此命题得证。

我也是有拿complex analysis 1,虽然刚刚开课，可是觉得相当有趣。

mathlim

a = cosA + isinA, b = cosB + isinB, c = cosC + isinC

abc = cos(A+B+C) + isin(A+B+C) (De Moivre's Theorem)

(a+b) = (cosA + cosB) + i(sinA + sinB)
          = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] + 2isin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
          = 2cos[(A-B)/2]{cos[(A+B)/2] + isin[(A+B)/2]}

(b+c) = 2cos[(B-C)/2]{cos[(B+C)/2] + isin[(B+C)/2]}

(c+a) = 2cos[(C-A)/2]{cos[(C+A)/2] + isin[(C+A)/2]}

(a+b)(b+c)(c+a) = 8cos[(A-B)/2]cos[(B-C)/2]cos[(C-A)/2][cos(A+B+C) + isin(A+B+C)]

∴ abc/[(a+b)(b+c)(c+a)] = 8cos[(A-B)/2]cos[(B-C)/2]cos[(C-A)/2] ∈ R

mathlim

我不会exponential form，我只会trigonometric form.

distantstar

其实，你的trigonometric form就是exponential form的展开式而已。

e ^ (i A) = cos A  + i sin A.

mathlim

是啊！我怎么忘了！

e^πi = cosπ + isinπ = -1

dunwan2tellu

mathlim 解答得很好。用的是complex number 的trigo form（或 exponential form).
我自己有一个解答，用的是一个complex number 的 特征

定理:
复数 z 是一个实数 if and only if  z = conjugate z

** 若 z = a + bi , a,b,= real , 那么 conjugate z = a - bi

利用这特征，有谁能想到如何用另一种方式证明上述的题目？

mathlim

有意思！受教了。
设  z' = conjugate of z.
| z | = 1 => z z' = 1.

{abc/[(a+b)(b+c)(c+a)]}'

= a'b'c'/[(a'+b')(b'+c')(c'+a')]

= a'b'c'/[(a'+b')(b'+c')(c'+a')][a²b²c²/( a²b²c² )]

= abc/{[(a'+b')ab][(b'+c')bc][(c'+a')ca]}

= abc/[(b+a)(c+b)(a+c)]

= abc/[(a+b)(b+c)(c+a)]

∴ abc/[(a+b)(b+c)(c+a)] ∈ R

dunwan2tellu

有意思，有意思！Mathlim 呵呵。

想当时，当某人告诉我这题可以这样解决的时候，我真的很惊奇。那时候我慢慢开始相信，了解数学的定理，有时候很多问题都可以“很容易”的解决

看到这题目过后，在 complex analysis 里有几题要证明某某 complex number 是 real, 我都用这招。比如这提

设 3x3 complex Matrix A 是
( 1   1   1   )
( z1  z2  z3 )
( z1'  z2'  z3')

where z1,z2,z3 = 任何复数， z1',z2',z3' = z1,z2,z3 的 conjugate.

试证明

Det ( A) 是纯复数(purely imaginary)

** Det X = Matrix X 的determinant(应该是叫做 行列式 吧？）

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 24-1-2009 07:42 PM 编辑 ]

比比比

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