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■ 函数增减性 ■
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利用微分法判断函数f(x) = x³ + 3x² - 24x的图像的增减性。
f'(x) = 3x² + 6x - 24 = 3(x - 2)(x + 4)
Ⅰ. 当x ∈ (-∞, -4), f'(x) > 0, 所以f(x)在(-∞, -4]内是增函数；
Ⅱ. 当x ∈ (-4, 2), f'(x) < 0, 所以f(x)在[-4, 2]内是减函数；
Ⅲ. 当x ∈ (2, ∞), f'(x) > 0, 所以f(x)在[2, ∞)内是增函数。
有没有人想过试一试利用增减性的定义来做呢？
[ 本帖最后由 mathlim 于 9-1-2009 01:57 PM 编辑 ] |
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发表于 9-1-2009 01:11 PM
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楼主 |
发表于 9-1-2009 05:07 PM
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我举一个例子：
试证明函数 y = 2x + 1 的图像在 R 上为增函数。
Ⅰ. 利用增减性的性质。
∵ y' = 2 > 0, x ∈R
∴ 函数 y = 2x + 1 的图像在 R 上为增函数。
Ⅱ. 利用增减性的定义。
当 x1 > x2,
则 y1 - y2 = (2x1 + 1) - (2x2 + 1) = 2(x1 - x2) > 0,
即 y1 > y2.
∴ 函数 y = 2x + 1 的图像在 R 上为增函数。 |
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发表于 9-1-2009 09:16 PM
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看来你的方法只适合单调区间使用
如果遇到非单调函数
那么就需要将区间划分成单调区间处理 |
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楼主 |
发表于 9-1-2009 10:52 PM
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回复 4# puangenlun 的帖子
没错！
正是如此，才有挑战性。
我想了十多年，
最近终于实际操作一番，
满好玩的！
我要让人家知道，
如果没有微积分学的应用，
用增减性的定义来处理，
将会是多么的辛苦。 |
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楼主 |
发表于 10-1-2009 10:30 AM
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增减性的定义：
Ⅰ. 对于区间D中任意两个数 x1, x2，
当 x1 < x2 时，总有 f(x1) < f(x2)，
则 f(x) 在区间D上是增函数(increasing function)。
Ⅱ. 对于区间D中任意两个数 x1, x2，
当 x1 < x2 时，总有 f(x1) > f(x2)，
则 f(x) 在区间D上是减函数(decreasing function)。 |
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发表于 10-1-2009 10:12 PM
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可以将函数画成图
考察他的零点
然后划分单调区间
分别指出他的单调情况（增、减） |
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楼主 |
发表于 11-1-2009 11:34 AM
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利用增减性的定义
Ⅰ. 证明函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在(-∞, -4]上是增函数。
Ⅱ. 证明函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在[-4, 2]上是减函数。
Ⅲ. 证明函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在[2, ∞)上是增函数。
试试看吧！
Ⅰ和Ⅲ的证明一样。
Ⅱ比较有挑战。 |
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发表于 12-1-2009 02:16 PM
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楼主 |
发表于 12-1-2009 07:26 PM
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回复 9# puangenlun 的帖子
好问题！
怎样不用微积分区分单调区间？ |
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发表于 13-1-2009 08:46 PM
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当我想到 f(x)=sin(1/x) 这个函数
在x属于[0，0.1]的区间根本一般方法都不行！ |
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楼主 |
发表于 15-1-2009 11:10 AM
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原帖由 puangenlun 于 12-1-2009 02:16 PM 发表 
难点是怎么划分单调区间！
f(x) = x³ + 3x² - 24x
在不应用微积分的情况下，
虽然也许非常麻烦，
但理论上还是找得到它增减区间的分界。
我们可以计算各点的函数值，
从函数值观察增减的情况，
若不是整数分界，
就用二分法不断的细分吧！ |
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发表于 15-1-2009 09:33 PM
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楼主 |
发表于 16-1-2009 12:46 AM
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兵来将挡，水来土掩。
它密，我们可以更密！ |
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发表于 16-1-2009 01:34 PM
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sin(1/x)
x属于(0 ,0.00001)
他有无穷单调区间
你呢？ |
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楼主 |
发表于 13-2-2009 01:07 PM
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原帖由 mathlim 于 11-1-2009 11:34 AM 发表 
利用增减性的定义
Ⅰ. 证明函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在(-∞, -4]上是增函数。
Ⅱ. 证明函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在[-4, 2]上是减函数。
Ⅲ. 证明函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在[2, ∞)上是增函数。
试试看吧！
Ⅰ和Ⅲ的证明一样。
Ⅱ比较有挑战。
我先证明Ⅰ的部分：
当 - 4 > a > b,
f(a) - f(b)
= (a³ + 3a² - 24a) - (b³ + 3b² - 24b)
= ( a³ - b³ ) + 3( a² - b² ) - 24( a - b )
= ( a - b )( a² + ab + b² ) + 3( a - b )( a + b ) - 24( a - b )
= (a - b)(a² + ab + b² + 3a + 3b - 24)
= (a - b)[(- a - 4)(- b - 4) + (a + 4)² + (b + 4)² + 9(- a - b - 8)] > 0
=> f(a) > f(b)
∴ 函数 f(x) = x³ + 3x² - 24x 在(-∞, -4]上是增函数。
[ 本帖最后由 mathlim 于 30-4-2009 11:25 AM 编辑 ] |
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发表于 14-2-2009 05:29 PM
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我昨晚想了一下
发现这样做下去的结果会带人进入微积分
将f(a),f(b)换成f(x),f(x+ε)
f(x+ε)-f(x)>0在最后会变成一个二次函数
令ε->0则可以解出两个x
在这两个x内是decreasing的
其它interval内是increasing的 |
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楼主 |
发表于 6-3-2009 12:50 PM
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发表于 7-3-2009 08:18 AM
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发表于 7-3-2009 08:19 AM
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