问功课下，Linear Vector Space滴

Smithy

有一题写来写去都证明不到，哭求大大帮忙
以下是翻译版本，若有错误请见谅

W1 and W2 is R^n 's subspace （部分）空间
W1 + W2 = { x + y | 　x∈W1 , y∈W2}

proof
dim[ W1 + W2] = dim W1 + dim W2 - dim[W1∩ W2]

小弟一年生没好好读书，见笑了

kimsiang

好怀念这个问题。哈哈。
先放 d=dim[W1∩ W2], 还有W1∩ W2的基底(basis)为{u1,u2,....,ud}。由于W1∩ W2是W1的部分空间，所以可把{u1,u2,....,ud}延长到U1的基底。把它写成{u1,u2,....,ud,v1,v2,..vr}。所以，dim W1=d+r。同样的，如果把{u1,u2,....,ud}延长到W2的话，可以得到{u1,u2,....,ud,w1,w2,..ws}，所以dim W2=d+s。
接下来就只需要证明{u1,u2,....,ud,v1,v2,..vr,w1,w2,..ws}是W1+W2的基底。(证明省略。可以使用一次独立等的理论来做。)
这个时候，dim(W1+W2)=d+r+s(从基底的标号)。另一方面，
dimW1+dimW2-dim[W1∩ W2]=(d+r)+(d+s)-d=d+r+s。所以，
题意成立。

[ 本帖最后由 kimsiang 于 20-11-2008 02:09 PM 编辑 ]

Smithy

我从大做到小，难怪弄不到
谢谢。