函数问题

mathlim

Ⅰ. f(-x-4) = f(x+4)
Ⅱ. f(-x+4) = f(x+4)

看来，还是由我说明吧！
Ⅰ的情况表示f是偶函数。它与f(-x) = f(x)无异。

Ⅱ的情况呢！f(x+4)是一个合成函数。
令g(x) = x+4，则f(x+4) = f(g(x)) = (fog)(x)
它表示fog是偶函数。
(fog)(-x) = (fog)(x)

龙文

在“人教论坛 » 中学数学教育论坛 » 高中数学论坛 » 一个抽象函数问题！”发现一道这样的函数题目：

f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x+4）为偶函数，求f（16）的值？

请帮我解一解，谢谢！

mathlim

∵ f(x)是奇函数，∴ f(-x) = -f(x)。

∵ f(x+4)是偶函数，∴ f(-x+4) = f(x+4)。

∴ f(16) = f(12+4)
              = f(-12+4)
              = f(-8)
              = -f(8)
              = -f(4+4)
              = -f(-4+4)
              = -f(0)
              = f(-0)
              = f(0)
              = 0

mathlim

其实一开始我在烦恼，
到底 f(x+4) 是偶函数，
应该得到下列哪一个结果？

Ⅰ. f(-x-4) = f(x+4)

Ⅱ. f(-x+4) = f(x+4)

朗木寺

II正确，如果I成立的话，就会和奇函数的性质矛盾。

给一个具体的例子 ：f(x)=sin(π/8)x 为奇函数，

f(x+4)=sin( π/8)(x+4)=sin[( π/8)x+ π/2]= cos(π/8)x

为偶函数。另外

f(-x+4) =sin( π/8)(-x+4) =  sin[-( π/8)x+ π/2] =  cos[( π/8)x]

因此 f(x+4)=f(-x+4)

[ 本帖最后由 朗木寺 于 14-11-2008 12:26 AM 编辑 ]

mathlim

是否可以说明Ⅰ与Ⅱ的不同之处？

朗木寺

还是用回我举的例子

f(x)=sin(π/8)x 为奇函数，

f(-x-4)
=  sin( π/8)(-x-4)
=  sin[-( π/8)x- π/2]
=  -sin[( π/8)x+ π/2]
= - cos[( π/8)x]
= -f(x+4) 奇函数
≠  f(x+4)